En el átomo de Wavefunctions de hidrógeno

Question

En el contexto de las funciones de onda de los electrones en un átomo de hidrógeno, sólo quiero llegar claro con respecto a los términos de probabilidad y de densidad de probabilidad de encontrar un electrón. Para ser precisos, sabemos que el valor de $|\Psi|^2$ a un punto da la densidad de probabilidad del electrón en el punto. Ahora, ¿eso implica que si el valor de $|\Psi|^2$ es máximo en un punto, el electrón es más probable encontrar en ese punto?

Razón de mi duda: La pregunta dada por mi instructor va:

Dado que la normalizado de la función de onda del electrón en $\mathrm{3d}_{z^2}$ orbital de un átomo de Hidrógeno es: $$ \Psi = N \sigma^2 \mathrm{e}^{-\frac{\sigma}{3}}(3\cos^2\theta-1) \, , $$ donde $\sigma={\frac{r}{a_o}}$

Ahora, ¿dónde está el electrón más probabilidades de ser encontrado?

La solución dada es: Si $P$ representa la probabilidad de encontrar el electrón y $\mathrm{d}V$ el elemento de volumen luego, $$ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V} = |\Psi|^2 \implica \mathrm{d}P=|\Psi|^2 \mathrm{d}V$$ También,ya que, $$\mathrm{d}V = r^2 \sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$$ Tenemos, \begin{align} \mathrm{d}P &= |\Psi|^2 r^2 \sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \\ &= N_1 \sigma^4 \mathrm{e}^{-\frac{2\sigma}{3}}{(3\cos^2\theta-1)^2} \sigma^2 \sin\theta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \\ & = N_1 [ \sigma^6 \mathrm{e}^{-\frac{2\sigma}{3}} \mathrm{d}\sigma ][ {(3\cos^2\theta-1)^2} \sin\theta \mathrm{d}\theta ][ \mathrm{d}\phi] \end{align}

Posteriormente se maximiza la $[\sigma^6 \mathrm{e}^{-\frac{2\sigma}{3}}]$ $[{(3\cos^2\theta-1)^2} \sin{\theta}]$ términos para obtener los valores de ${\sigma}$ es decir, por lo tanto $r$ ${\theta}$ a que el electrón es más probable encontrar. De hecho, se hizo hincapié en la maximización de las ${\theta}$ parte en la que llegó a ser $0$. Y, por lo tanto, una conclusión hecho de que para un electrón en $\mathrm{3d}_{z^2}$ orbital, el electrón es más probable que se encuentra en el plano XY.

Me parece todo esto confunde y pescado. Puede alguien explicar que me esta solución o demostrar el mal a través de una correcta manera de resolver esta cuestión.

Answer 1

Ahora, ¿eso implica que si el valor de $|\Psi|^2$ es el máximo en un punto, el electrón es más probable encontrar en ese punto?

Ciertamente implica algo similar a lo OP que está diciendo, pero no del todo. Como siempre en la teoría cuántica, uno tiene que ser muy cuidadoso con sus palabras. Es decir, estamos hablando de un continuo variable aleatoria aquí, así que la única probabilidad que tiene sentido es la de que caiga dentro de un determinado rango de valores, es decir, la probabilidad de encontrar un electrón en algún elemento infinitesimal de volumen $\mathrm{d}V$ centrada en una determinada ubicación de $r$ y no en este único punto. Aún así, si se divide el conjunto de espacio en elementos de volumen de un idéntico (infinitesimalmente pequeño) tamaño, el más grande es el valor de $|\Psi|^2$, mayor es la ya mencionada de la probabilidad.

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Ahora a las conclusiones reales. Así, para un electrón que ocupa el $\mathrm{3d}_{z^2}$ orbital, la probabilidad de encontrar en un elemento infinitesimal de volumen $\mathrm{d}V$ centrada en una determinada ubicación de $r$ es dado como $|\Psi|^2 \mathrm{d}V$ donde $|\Psi|^2$ es la densidad de probabilidad. Analizamos la densidad de probabilidad $$ |\Psi|^2 = N^2 \sigma^4 \mathrm{e}^{-2\sigma/3} (3\cos^2\theta-1)^2 \, , $$ o, más precisamente, sólo su angulares $(3\cos^2\theta-1)^2$ part. Así, cuando se hace esta expresión tiene su valor máximo? Los máximos globales están en$\theta = 0$$\theta = \pi$, es decir, junto a $z$-eje, además de que hay son los máximos locales en$\theta = \pi/2$$\theta = 3\pi/2$, es decir, en un plano perpendicular a $z$-eje. ¹

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A partir de la discusión con OP, parece, es preciso señalar que los términos "de densidad de probabilidad" y "probabilidad" se definen con respecto a un determinado evento aleatorio. Anteriormente se analizó la densidad de probabilidad de encontrar un electrón en un elemento infinitesimal de volumen $\mathrm{d}V$ centrada en un punto de $r$. La función de distribución radial surge cuando se considera una probabilidad de un evento diferente, es decir, la probabilidad de encontrar un electrón entre dos esferas concéntricas de radios $r$$r + \mathrm{d}r$. Partimos de la probabilidad de encontrar un electrón en el elemento de volumen infinitesimal $\mathrm{d}V$ a un punto de $r$ $$ |\Psi|^2 \mathrm{d}V = \underbrace{R_{nl}^2(r) |Y_l^m(\theta, \phi)|^2}_{|\Psi|^2} \underbrace{r^2 \mathrm{d}r \sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi}_{\mathrm{d}V} \, , $$ e integrar a cabo $\theta$ $\phi$ dependencias $$ \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} |\Psi|^2 \mathrm{d}V = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} R_{nl}^2(r) |Y_l^m(\theta, \phi)|^2 r^2 \mathrm{d}r \sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \, . $$ Y ya que los armónicos esféricos $Y_l^m$ se normalizan (unidad) $$ \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} |Y_l^m(\theta, \phi)|^2 \sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi = 1 \, , $$ para la probabilidad de encontrar un electrón entre dos esferas concéntricas de radios $r$ $r + \mathrm{d}r$ simplemente obtenemos $$ R_{nl}^2(r) r^2 \mathrm{d}i \, . $$ La correspondiente densidad de probabilidad es, por supuesto, $R_{nl}^2(r) r^2$. Este tipo de análisis es diferente de lo que hizo anteriormente para el angulares $\theta$ dependencia: simplemente nos ignoran la radial y la otra dependencia angular en lugar de integrar. Esta ignorancia hace que nuestro análisis un poco duro, pero no inútil: al menos hemos sido capaces de identificar algunas tendencias generales en la angulares $\theta$ dependencia.

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1) Ver Wolfram Alpha para más detalles.

Answer 2

A pesar de preguntar acerca de los átomos de hidrógeno el mismo principio es válido para cualquier función de onda. En la mecánica cuántica, a menudo necesitamos para hallar la probabilidad de que en algún posición x. Sin embargo, x es una variable continua con un número infinito de valores, por lo que no tiene sentido preguntar cuál es la probabilidad de estar en algún exacta posición, decir $x=2/3$, ya que esto va a ser muy pequeña.

En su lugar nos imaginamos que la probabilidad es que de estar en la posición x a $x+dx$ donde dx tiene algo de valor muy pequeño. Supongamos que hay algunos generales de la función $f(x)$ a partir de que el deseo de encontrar la densidad de probabilidad, a continuación, $f(x)dx $ es la probabilidad de estar entre x y $x+dx$ $f(x)$ es la densidad de probabilidad que debe ser real, no negativo. Resulta que la mecánica cuántica postula que la densidad de probabilidad está dada en términos de la función de onda es $|\psi|^2$ e las $|~|$ significa tomar el valor absoluto. Si la función de onda es una cantidad compleja, y a menudo es, entonces escribimos $\psi^*\psi$, donde el * indica el complejo conjugado de la función de onda $\psi$, es decir, reemplazar i con $-i$ . Encontrar el máximo de la densidad de probabilidad se realiza de la misma manera como lo haría encontrar el máximo/mínimo de cualquier función, diferenciar, igual a cero y resolver. Comprobar si es máximo o mínimo.