Un problema acerca de la matriz de autovalores: los autovalores de a $A_n$ son todas positivas y no más de $3+2\sqrt 2$

Question

Hoy me preguntaron por un amigo para echar un vistazo más de un problema de álgebra lineal, que es bastante fácil en un primer vistazo:

Para$n\in\mathbb N$, $$A_n=\left[\begin{matrix}1 &\frac{1}{2} &\frac{1}{3} &\cdots &\frac{1}{n}\\ \frac{1}{2} &\frac{1}{2} &\frac{1}{3} &\cdots &\frac{1}{n}\\ \frac{1}{3} &\frac{1}{3} &\frac{1}{3} &\cdots &\frac{1}{n}\\ \vdots& & &\ddots & \vdots\\ \frac{1}{n}& \frac{1}{n}& \frac{1}{n}& \cdots &\frac{1}{n}\end{de la matriz}\right].$$ Then the eigenvalues of $A_n$ are all positive and no more than $3+2\sqrt2$.

A la positividad de los valores propios, podemos considerar que la matriz $P=\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 & 1\\ & \ddots& \ddots \\& & & 1\\& & & -1 &1\end{smallmatrix}\right]$ y de ello se sigue que $P^\top AP=\left[\begin{smallmatrix} 1/2 \\ & 1/6& &\ast \\ & &\ddots\\ & & & 1/(n-1)n\\ & O& & & 1/n\end{smallmatrix}\right]$.

Ahora el problema es que el extraño obligado a $3+2\sqrt 2$ no puede ser visto. Diagonalizing este real simétrica matriz no parece funcionar ya que por lo general las necesidades de los autovalores de antemano. Pensé acerca de Gerschgorin disco, pero por desgracia no es de ayuda aquí. Así que me gustaría pedir algunas ideas acerca de este problema, y cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

En realidad, todos los autovalores de a $A_n$ son de menos de $4$ [véase la Sección V, del Hombre-Duen Choi de papel, Trucos o Golosinas con la Matriz de Hilbert, American Mathematical Monthly 90 (1983), 301-312]. Debido a $3 + 2 \sqrt{2} \approx 5.8$, afirmó el resultado es correcto pero no es la mejor posible límite superior de los valores propios de a $A_n$.