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¿Cómo Puede Uno Probar cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)=1/2

Referencia: http://xkcd.com/1047/

Hemos probado varios diferentes identidades trigonométricas. Todavía no hay suerte.

Interpretación geométrica también sería bienvenido.

EDIT: Muy buenas respuestas, claro que estoy impresionado. He seguido todas las respuestas y que trabajo! Sólo puedo aceptar una respuesta, los otros llegaban a mi upvote.

24voto

Tilendor Puntos 9622

Sugerencia: comience con eiπ/7=cos(π/7)+isin(π/7) y el hecho de que el lado izquierdo es un 7º de la raíz de -1.

Deje u=eiπ/7, entonces queremos encontrar (u+u3+u5).

Luego tenemos a u7=1u6u5+u4u3+u2u+1=0.

Volver a organizar este obtenemos: u6+u4+u2+1=u5+u3+u.

Si a=u+u3+u5, entonces esto se convierte en ua+1=a, y la reorganización de este da a(1u)=1 o a=1/(1u).

Así que todo lo que tenemos que hacer es encontrar a (1/(1u)).

1/(1u)=1/(1cos(π/7)isin(π/7))=(1cos(π/7)+isin(π/7))/(22cos(π/7))

así

(1/(1u))=(1cos(π/7))/(22cos(π/7))=1/2

16voto

Joe Lencioni Puntos 4642

Usted puede obtener este por primera multiplicando cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7) 2sin(π/7) y, a continuación, la aplicación de la doble ángulo fórmula para sin y suma a la fórmula del producto para cosxsiny.

Vamos a=π/7, b=3π/7, y c=5π/7.

El uso de 2cosx\senx=\sen2x y cosx\pecadoy=sin(x+y)sin(xy)2 tenemos (cosa+cosb+cosc)2sinun=2cos\pecadoa+2cosb\pecadoa+2cosc\pecadoa=\sen2a+sin(b+a)sin(ba)+sin(c+a)sin(ca)=sin(2π/7)+sin(4π/7)sin(2π/7)+sin(6π/7)sin(4π/7)=sin(6π/7)=sin(π/7)=\pecado. Ahora divida ambos lados de (cosa+cosb+cosc)2\sena=sinun por 2sina.

11voto

Andrew Puntos 140

Para elaborar Mathlover el comentario de los tres números cosπ7, cos3π7, y cos5π7 son las tres raíces de la monic polinomio de Chebyshev de la tercera clase

ˆVn(x)=cos((n+12)arccosx)2ncosarccosx2=12n(Un(x)Un1(x))

dondeUn(x)=sin((n+1)arccosx)1x2, es habitual el polinomio de Chebyshev de la segunda clase, y la última relación se obtiene a través de la identidad trigonométrica

2sinθ2cos((n+12)θ)=sin((n+1)θ)sinnθ

La pregunta entonces es, esencialmente, pidiendo el negativo del coeficiente de la x2 plazo de 18(U3(x)U2(x)) (Vieta); podemos generar los dos polinomios utilizando la definición dada anteriormente, o a través de una adecuada relación de recursividad. Entonces tenemos

U2(x)=4x21U3(x)=8x34x

y así tenemos

ˆV3(x)=18((8x34x)(4x21))=x3x22x2+18

que los rendimientos de las identidades

cosπ7+cos3π7+cos5π7=12cosπ7cos3π7+cos3π7cos5π7+cosπ7cos5π7=12cosπ7cos3π7cos5π7=18

5voto

zyx Puntos 20965

Los tres ángulos en la fórmula {π/7,3π/7,5π/7}, la idea de los puntos en el círculo unidad, puede ser completado a un conjunto de siete ángulos de los vértices de un regular heptagon.

Estos heptagon los ángulos, hasta un múltiplo entero de 2π, igual a {π,±π/7,±3π/7,±5π/7}.

El promedio de x coordenadas de los vértices de un polígono es igual a cero, a partir de la simetría rotacional de la heptagon.

También hay simetría con respecto a la reflexión en el x eje: cos±x=cosx.

La combinación de estos hechos, uno se 2S71=0 donde S7 es la suma de tres cosenos. O Sn=1/2 por extraño n3.

4voto

Jason Weathered Puntos 5346

Imagen geométrica: si N es un número entero mayor que 1, los puntos de (cos2πjN,sin2πjN)0j<N, están igualmente distribuidos en el círculo unidad. Más precisamente, este conjunto de puntos se modifica si se rota el plano por 2πN sobre el origen. Si pensamos en los puntos como un conjunto de masas iguales, entonces el centro de masa tiene que ser un punto que no se ha modificado en virtud de la rotación. Hay sólo un punto.

Con un poco de trabajo, la suma puede ser conectado con el centro de masa de cálculo.

Para la elaboración de las anteriores: La matriz que gira un vector por 2πN es R=[cos2πNsin2πNsin2πNcos2πN]. Trate de multiplicar R por cualquiera de los vectores (cos2πjN,sin2πjN) y, a continuación, aplicar, además de las fórmulas. Usted debe obtener la (cos2π(j+1)N,sin2π(j+1)N). Pero esto significa que la suma S=N1j=0(cos2πjN,sin2πjN) se modifica bajo la multiplicación por R. Se puede demostrar que esto implica S=(0,0)?

Está tratando de demostrar 12cosπ7cos3π7cos5π7=0. La relación a lo anterior, se multiplican ambos lados por 2, y el uso de cosθ=cos(π+θ)=cos(πθ) a reescribir el lado izquierdo.

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