¿Cómo Puede Uno Probar $\cos(\pi/7) + \cos(3 \pi/7) + \cos(5 \pi/7) = 1/2$

Question

Referencia: http://xkcd.com/1047/

Hemos probado varios diferentes identidades trigonométricas. Todavía no hay suerte.

Interpretación geométrica también sería bienvenido.

EDIT: Muy buenas respuestas, claro que estoy impresionado. He seguido todas las respuestas y que trabajo! Sólo puedo aceptar una respuesta, los otros llegaban a mi upvote.

Answer 1

Sugerencia: comience con $e^{i\pi/7} = \cos(\pi/7) + i\sin(\pi/7)$ y el hecho de que el lado izquierdo es un 7º de la raíz de -1.

Deje $u = e^{i\pi/7}$, entonces queremos encontrar $\Re(u + u^3 + u^5)$.

Luego tenemos a $u^7 = -1$$u^6 - u^5 + u^4 - u^3 + u^2 -u + 1 = 0$.

Volver a organizar este obtenemos: $u^6 + u^4 + u^2 + 1 = u^5 + u^3 + u$.

Si $a = u + u^3 + u^5$, entonces esto se convierte en $u a + 1 = a$, y la reorganización de este da $a(1 - u) = 1$ o $a = 1 / (1 - u)$.

Así que todo lo que tenemos que hacer es encontrar a $\Re(1 / (1 - u))$.

$1 / (1 - u) = 1 / (1 - \cos(\pi/7) - i \sin(\pi/7)) = (1 - \cos(\pi/7) + i \sin(\pi/7)) / (2 - 2 \cos(\pi/7))$

así

$\Re(1/(1-u)) = (1 - \cos(\pi/7)) / (2 - 2\cos(\pi/7)) = 1/2$

Answer 2

Usted puede obtener este por primera multiplicando $\cos(\pi/7)+\cos(3\pi/7)+\cos(5\pi/7)$ $2\sin(\pi/7)$ y, a continuación, la aplicación de la doble ángulo fórmula para $\sin$ y suma a la fórmula del producto para $\cos x \sin y$.

Vamos $a=\pi/7$, $b=3\pi/7$, y $c=5\pi/7$.

El uso de $$2\cos x\sen x =\sen 2x$$ y $$\cos x\pecado y= {\sin(x+y)-\sin(x-y)\over2 }$$ tenemos $$\eqalign{ (\cos a+\cos b+\cos c)\cdot 2\sin un &=\color{color granate}{2\cos\pecado a}+\color{verde oscuro}{2\cos b\pecado a} +\color{darkblue}{2\cos c\pecado a}\cr &=\color{color granate}{\sen 2a }+\color{verde oscuro de}{\sin(b+a)-\sin(b-a)}+\color{darkblue}{ \sin(c+a)-\sin(c-a)}\cr &=\color{color verde azulado}{\sin(2\pi/7) }+ {\color{color púrpura}{\sin(4\pi/7)}\color{color verde azulado}{-\sin(2\pi/7)}}+ { \sin(6\pi/7)-\color{color púrpura}{\sin(4\pi/7)}}\cr &=\sin(6\pi/7)\cr &=\sin (\pi/7)\cr &=\pecado. }$$ Ahora divida ambos lados de $$(\cos a+\cos b+\cos c)\cdot 2\sen a =\sin un$$ por $2\sin a$.

Answer 3

Para elaborar Mathlover el comentario de los tres números $\cos\frac{\pi}{7}$, $\cos\frac{3\pi}{7}$, y $\cos\frac{5\pi}{7}$ son las tres raíces de la monic polinomio de Chebyshev de la tercera clase

$$\hat{V}_n(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac12\right)\arccos\,x\right)}{2^n\cos\frac{\arccos\,x}{2}}=\frac1{2^n}\left(U_n(x)-U_{n-1}(x)\right)$$

donde$U_n(x)=\frac{\sin((n+1)\arccos\,x)}{\sqrt{1-x^2}}$, es habitual el polinomio de Chebyshev de la segunda clase, y la última relación se obtiene a través de la identidad trigonométrica

$$2\sin\frac{\theta}{2}\cos\left(\left(n+\frac12\right)\theta\right)=\sin((n+1)\theta)-\sin\,n\theta$$

La pregunta entonces es, esencialmente, pidiendo el negativo del coeficiente de la $x^2$ plazo de $\frac18(U_3(x)-U_2(x))$ (Vieta); podemos generar los dos polinomios utilizando la definición dada anteriormente, o a través de una adecuada relación de recursividad. Entonces tenemos

$$\begin{align*}U_2(x)&=4x^2-1\\U_3(x)&=8x^3-4x\end{align*}$$

y así tenemos

$$\hat{V}_3(x)=\frac18((8x^3-4x)-(4x^2-1))=x^3-\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac18$$

que los rendimientos de las identidades

$$\begin{align*} \cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}&=\frac12\\ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}&=-\frac12\\ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}&=-\frac18 \end{align*}$$

Answer 4

Los tres ángulos en la fórmula $\lbrace \pi/7, 3\pi/7, 5\pi/7 \rbrace$, la idea de los puntos en el círculo unidad, puede ser completado a un conjunto de siete ángulos de los vértices de un regular heptagon.

Estos heptagon los ángulos, hasta un múltiplo entero de $2 \pi$, igual a $\lbrace \pi, \pm \pi/7, \pm 3\pi/7, \pm 5\pi/7 \rbrace$.

El promedio de $x$ coordenadas de los vértices de un polígono es igual a cero, a partir de la simetría rotacional de la heptagon.

También hay simetría con respecto a la reflexión en el $x$ eje: $\cos \pm x = \cos x$.

La combinación de estos hechos, uno se $2S_7 - 1 = 0$ donde $S_7$ es la suma de tres cosenos. O $S_n = 1/2$ por extraño $n \geq 3$.

Answer 5

Imagen geométrica: si $N$ es un número entero mayor que 1, los puntos de $\left(\cos\frac{2\pi j}{N},\sin\frac{2\pi j}{N}\right)$$0\le j\lt N$, están igualmente distribuidos en el círculo unidad. Más precisamente, este conjunto de puntos se modifica si se rota el plano por $\frac{2\pi}{N}$ sobre el origen. Si pensamos en los puntos como un conjunto de masas iguales, entonces el centro de masa tiene que ser un punto que no se ha modificado en virtud de la rotación. Hay sólo un punto.

Con un poco de trabajo, la suma puede ser conectado con el centro de masa de cálculo.

Para la elaboración de las anteriores: La matriz que gira un vector por $\frac{2\pi}{N}$ es $$R=\begin{bmatrix} \cos\frac{2\pi}{N} & -\sin\frac{2\pi}{N}\\\sin\frac{2\pi}{N} & \cos\frac{2\pi}{N} \end{bmatrix}.$$ Trate de multiplicar $R$ por cualquiera de los vectores $\left(\cos\frac{2\pi j}{N},\sin\frac{2\pi j}{N}\right)$ y, a continuación, aplicar, además de las fórmulas. Usted debe obtener la $\left(\cos\frac{2\pi (j+1)}{N},\sin\frac{2\pi (j+1)}{N}\right)$. Pero esto significa que la suma $$S=\sum_{j=0}^{N-1}\left(\cos\frac{2\pi j}{N},\sin\frac{2\pi j}{N}\right)$$ se modifica bajo la multiplicación por $R$. Se puede demostrar que esto implica $S=(0,0)$?

Está tratando de demostrar $$\frac{1}{2}-\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}=0.$$ La relación a lo anterior, se multiplican ambos lados por 2, y el uso de $\cos\theta=-\cos(\pi+\theta)=-\cos(\pi-\theta)$ a reescribir el lado izquierdo.