Imagen geométrica: si N es un número entero mayor que 1, los puntos de (cos2πjN,sin2πjN)0≤j<N, están igualmente distribuidos en el círculo unidad. Más precisamente, este conjunto de puntos se modifica si se rota el plano por 2πN sobre el origen. Si pensamos en los puntos como un conjunto de masas iguales, entonces el centro de masa tiene que ser un punto que no se ha modificado en virtud de la rotación. Hay sólo un punto.
Con un poco de trabajo, la suma puede ser conectado con el centro de masa de cálculo.
Para la elaboración de las anteriores: La matriz que gira un vector por 2πN es
R=[cos2πN−sin2πNsin2πNcos2πN].
Trate de multiplicar R por cualquiera de los vectores (cos2πjN,sin2πjN) y, a continuación, aplicar, además de las fórmulas. Usted debe obtener la (cos2π(j+1)N,sin2π(j+1)N). Pero esto significa que la suma
S=N−1∑j=0(cos2πjN,sin2πjN)
se modifica bajo la multiplicación por R. Se puede demostrar que esto implica S=(0,0)?
Está tratando de demostrar
12−cosπ7−cos3π7−cos5π7=0.
La relación a lo anterior, se multiplican ambos lados por 2, y el uso de cosθ=−cos(π+θ)=−cos(π−θ) a reescribir el lado izquierdo.