¿Existe una función medible con una propiedad específica?

Question

¿Existe tal función medible $f$ $[0 ; 1]$ $\mathbb{R}$(en virtud de la medida de Lebesgue) tal que para $\forall x \in \mathbb{R}$ $\int_0^1 \frac{dt}{|f(t) - x|}$ siempre es finito? (La integral en esta pregunta es una integral de Lebesgue)

Yo no se pudo construir los ejemplos, pero no he encontrado ninguna manera de probar que tales funciones no existen.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

No es posible. Deje $M$ ser tal que el conjunto de $t$ $|f(t)|<M$ tiene una medida de al menos $1/2$. A continuación, dividir el intervalo de $I_0=[-M,M]$ en mitades en es punto medio, y elija la mitad de $I_1$$\mu(f^{-1}(I_1))\ge\mu(f^{-1}(I_0))/2$. Mantener dividir el intervalo por la mitad en el punto medio y la elección de la mitad de cuya inversa de la imagen tiene al menos la mitad de la medida de la imagen inversa de la anterior. Estos intervalos convergen a un punto de $x$. Usted verá que $|f(t)-x|$ es de menos de $M/2^{n-1}$ sobre un conjunto $f^{-1}(I_n)$ de la medida, al menos,$(1/2)^{n+1}$. Ahora, a partir de cualquier $k$ y contando hacia abajo, usted tiene $\frac{1}{|f(t)-x|}$ mayor que o igual a $2^{k-1}/M$ sobre un conjunto de medida de al menos $(1/2)^{k+1}$. Además, es mayor que o igual a $2^{k-2}/M$ sobre un conjunto de medida de al menos $(1/2)^k$, ...., y, al menos, $2^{-1}/M$ sobre un conjunto de medida de al menos $1/2$. Usted puede ver que esto implica que la integral es mayor que o igual a $$\frac{2^{k-1}}{M}\cdot\frac{1}{2^{k+1}} + \frac{2^{k-2}}{M}\cdot(\frac{1}{2^{k}} - \frac{1}{2^{k+1}}) + \frac{2^{k-3}}{M}\cdot(\frac{1}{2^{k-1}} - \frac{1}{2^{k}}) + \cdot\cdot\cdot + \frac{2^{-1}}{M}\cdot(\frac{1}{2^{1}} - \frac{1}{2^{2}}) $$, que se simplifica a $$\frac{2^{k-1}}{M}\cdot\frac{1}{2^{k+1}} + \frac{2^{k-2}}{M}\cdot\frac{1}{2^{k+1}} + \frac{2^{k-3}}{M}\cdot\frac{1}{2^{k}} + \cdot\cdot\cdot + \frac{2^{-1}}{M}\cdot\frac{1}{2^{2}} $$, and then to $$\frac{1}{4M}+k\cdot\frac{1}{8M}$$, which is more than $\frac{k}{8}$. Tenga en cuenta que la integral es acotado abajo por esta suma. Ya que para algunos fija $M$ esto es para arbitrariamente grande,$k$, este límite inferior puede hacerse tan grande como te gusta, así que para este particular $x$ el intervalo de la diferencia que debe existir.