demostrar o refutar $\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\le 0$

Question

deje$x_{i},y_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ ser números reales.y tal $x_{1}\le x_{2}\le\cdots\le x_{n}\le y_{1}\le y_{2}\le\cdots\le y_{n}$ y $$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})=0$$ demostrar o refutar $$\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\le 0$$

He estado pensando en ello durante mucho tiempo, y hasta ahora no he encontrado ninguna contraejemplos, probablemente, el Abel de transformación, pero no parece ser una solución fácil.Por supuesto, podría ser muy simple. Una simple deformación, pero yo no pienso de ella.

Caso $n=1$$x_{1}=-y_{1}$, lo $x_{1}y_{1}=-x^2_{1}\le 0$

Caso $n=2$$x_{1}+x_{2}=-(y_{1}+y_{2})$, entonces tenemos $$2x_{1}x_{2}+x^2_{1}+x^2_{2}=2y_{1}y_{2}+y^2_{1}+y^2_{2}$$ entonces tenemos $$2(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})=4y_{1}y_{2}+y^2_{1}+y^2_{2}-x^2_{1}-x^2_{2}$$ la última que he encontrado cuando n=2 no puede probarlo.demasiado.Ahora me pregunto si hay algún contraejemplo en este caso –

AÑADIR:

cansado de comentarios que $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}\le 0$ porque tenemos $$ 2\sum_{i=1}^{n}x_{i}\le\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})=0,2\sum_{i=1}^{n}y_{i}\ge\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})=0$$ así $$\sum_{i,j=1}^{n}x_{i}y_{j}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}\le0$$

Answer 1

La sustitución de $$ x_1 = - y_1 - \sum_{i=2}^n (x_i + y_i) $$ tenemos $$ \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} = -y_1^2 - y_1 \sum_{i=2}^n (x_i + y_i) + \sum_{i=2}^{n}x_{i}y_{i} \\ = -n y_1^2 + \sum_{i=2}^n (x_i-y_1)(y_i-y_1) \le 0 $$

A partir de aquí no es difícil ver que la igualdad ocurre si y sólo si $$ x_{k} = \ldots = x_n = 0 \\ y_1 = \ldots = y_{k-1} = 0 $$ para algunos $k$, $2 \le k \le n$, es decir, si y sólo si $x_iy_i=0$ todos los $i$.