¿Cómo es que saber que $\sqrt{7}\notin\mathbb{Q}(e^{2\pi i/7})$ ayudar a construir esta tabla de caracteres?

Question

He aquí una pregunta que me persigue desde que apareció en una hoja de problemas en un curso de Teoría de la Representación al que asistí como estudiante. La reproduciré exactamente:

8. Un grupo de orden $168$ tiene $6$ clases de conjugación. Se conocen tres representaciones de este grupo que tienen caracteres $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ resumido en el siguiente cuadro. Construye la tabla de caracteres del grupo. Si lo desea, puede suponer que $\sqrt 7$ no está en el campo generado por $\mathbb Q$ y un primitivo $7^{\text{th}}$ raíz de la unidad.

\begin{array}{c r r r r r r} |[g]|&1&21&42&56&24&24\\ \hline \alpha&14&2&0&-1&0&0\\ \beta&15&-1&-1&0&1&1\\ \gamma&16&0&0&-2&2&2\\ \end{array}

Puedo hacer la pregunta con bastante facilidad utilizando las distintas propiedades de las tablas de caracteres. Pero no necesito utilizar el hecho de que $\sqrt{7}\notin\mathbb{Q}(e^{2\pi i/7})$ . Así que mi pregunta es:

¿Qué enfoque de la pregunta tenía en mente el escritor cuando permitió que el estudiante asumiera que " $\sqrt 7$ no está en el campo generado por $\mathbb Q$ y un primitivo $7^{\text{th}}$ ¿Raíz de la unidad"?

Answer 1

Bien, finalmente lo resolví. Voy a dar una solución completa al ejercicio:

En primer lugar tenemos el carácter trivial, que denotaremos $\chi_1$ . Tenemos $\left<\chi_1,\alpha\right>=\left<\chi_1,\beta\right>=\left<\chi_1,\gamma\right>=0$ Por lo tanto, no está presente en ninguno de los personajes que nos han dado.

Calculando el producto interior de cada carácter consigo mismo se obtiene $\left<\alpha,\alpha\right>=2$ , $\left<\beta,\beta\right>=2$ y $\left<\gamma,\gamma\right>=4$ Así que $\alpha$ y $\beta$ son cada uno la suma de dos caracteres irreducibles distintos, y $\gamma$ es la suma de cuatro caracteres irreducibles distintos o dos copias del mismo carácter irreducible. De hecho, debe ser esto último, porque $\left<\beta,\gamma\right>=2$ , lo que significaría que tanto los caracteres irreducibles en $\beta$ tendría que aparecer en $\gamma$ . Pero entonces los dos caracteres irreducibles restantes en $\gamma$ sólo tendría la dimensión $1$ entre ellos, la contradicción. Así que $\chi_2=\gamma/2$ es un carácter irreducible de dimensión $8$ .

Entonces resulta que $\left<\chi_2,\alpha\right>=1$ y $\left<\chi_2,\beta\right>=1$ , por lo que podemos encontrar dos caracteres irreducibles más: $\chi_3=\alpha-\chi_2$ y $\chi_4=\beta-\chi_2$ de dimensiones $6$ y $7$ . Utilizando el hecho de que los cuadrados de las dimensiones de las representaciones irreducibles deben sumar 168, podemos ver que los dos caracteres irreducibles restantes deben tener ambos dimensión $3$ .

Así que nuestra tabla de caracteres hasta ahora está dada por:

\begin{array}{c r r r r r r} |[g]|&1&21&42&56&24&24\\ \hline \chi_1&1&1&1&1&1&1\\ \chi_2&8&0&0&-1&1&1\\ \chi_3&6&2&0&0&-1&-1\\ \chi_4&7&-1&-1&1&0&0\\ \chi_5&3&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6\\ \chi_6&3&y_2&y_3&y_4&y_5&y_6\\ \end{array}

Para calcular el $x$ s y $y$ s utilizaremos la ortonormalidad de las columnas. Utilizando la ortonormalidad de la segunda columna con la primera y consigo misma se obtiene $x_2+y_2=-2$ y $|x_2|^2+|y_2|^2=2$ , lo que implica $x_2=y_2=-1$ . Igualmente, $x_3+y_3=2$ y $|x_3|^2+|y_3|^2=2$ así que $x_3=y_3=1$ y $x_4+y_4=0$ y $|x_4|^2+|y_4|^2=0$ así que $x_3=y_3=0$ .

En la quinta columna obtenemos $x_5+y_5=-1$ y $|x_5|^2+|y_5|^2=4$ . Estas ecuaciones tienen múltiples soluciones. Pero como el conjugado complejo de un carácter irreducible es un carácter irreducible, sabemos que $x_5$ y $y_5$ son ambos reales, o son el conjugado complejo del otro. En el caso real tenemos $x_5+y_5=-1$ y $x_5^2+y_5^2=4$ y por lo tanto $x_5=\frac{-1\pm\sqrt 7}2$ (sin pérdida de generalidad podemos tomar el " $+$ ", y luego $y_5=\frac{-1-\sqrt 7}2$ ). En el caso irreal tenemos $2\mathrm{Re}(x_5)=-1$ y $2|x_5|^2=4$ y por lo tanto $x_5=\frac{-1\pm\sqrt 7i}2$ (de nuevo tomaremos el " $+$ ", y por lo tanto $y_5=\frac{-1-\sqrt 7i}2$ ).

Está claro que $x_6$ y $y_6$ debe tomar los mismos valores que $x_5$ y $y_5$ pero al revés. Así que hemos reducido las posibilidades de la tabla de caracteres a dos opciones restantes, ambas satisfacen plenamente todas las relaciones de ortogonalidad. La tabla de caracteres es

\begin{array}{c r r r r r r} |[g]|&1&21&42&56&24&24\\ \hline \chi_1&1&1&1&1&1&1\\ \chi_2&8&0&0&-1&1&1\\ \chi_3&6&2&0&0&-1&-1\\ \chi_4&7&-1&-1&1&0&0\\ \chi_5&3&-1&1&0&\frac{-1+\sqrt 7}2&\frac{-1-\sqrt 7}2\\ \chi_6&3&-1&1&0&\frac{-1-\sqrt 7}2&\frac{-1+\sqrt 7}2\\ \end{array}

o

\begin{array}{c r r r r r r} |[g]|&1&21&42&56&24&24\\ \hline \chi_1&1&1&1&1&1&1\\ \chi_2&8&0&0&-1&1&1\\ \chi_3&6&2&0&0&-1&-1\\ \chi_4&7&-1&-1&1&0&0\\ \chi_5&3&-1&1&0&\frac{-1+\sqrt 7i}2&\frac{-1-\sqrt 7i}2\\ \chi_6&3&-1&1&0&\frac{-1-\sqrt 7i}2&\frac{-1+\sqrt 7i}2\\ \end{array}

y queda por descartar una de estas posibilidades.

Esta es la solución prevista: Por el Teoremas de Sylow sabemos que $C_7$ aparece como un subgrupo de nuestro grupo, ya sea $1$ o $8$ tiempos. Ninguno de estos subgrupos puede intersecarse (excepto en la identidad) ya que $C_7$ es generado por cada uno de sus elementos no identitarios. Por tanto, el número de elementos de orden $7$ es $6$ o $48$ . Los elementos de cada clase de conjugación deben tener el mismo orden, por lo que de hecho debe darse el caso de que los elementos de orden $7$ son precisamente los elementos de las dos clases de conjugación de tamaño $24$ . Los valores propios de una representación de un elemento de orden $7$ debe ser $7$ a raíz de la unidad. Así que desde $\boldsymbol{\sqrt{7}\notin\mathbb{Q}(e^{2\pi i/7})}$ La primera tabla de caracteres de arriba no puede ser correcta, y la respuesta debe ser la segunda.

Claro que creo que en realidad es más fácil no usar el supuesto extra. Por ejemplo se puede calcular que si tomamos $\chi_5$ y $\chi_6$ como en la primera tabla de caracteres obtenemos $\left<\chi_5,\chi_5\otimes\chi_6\right>=1/2$ , lo cual es una contradicción ya que este valor debería ser un número natural. Esto responde a la pregunta utilizando sólo las propiedades de los caracteres, y sin tener que profundizar en las propiedades del grupo.