Es la Teoría Algebraica de números todavía un activo campo de investigación?

Question

He tomó un curso de introducción a la Teoría Algebraica de números durante mi Amo, que me gustó mucho. Ahora que estoy empezando a considerar mi tesis de Doctorado de la zona, me pregunto si no podía ir a por algo en esa dirección.

Como en prácticamente todos los cursos que he tomado, sin embargo, estaba demasiado ocupado tratando de entender las definiciones y teoremas, teniendo un poco de tiempo a la izquierda (o ningún conocimiento suficiente) para entender el desarrollo histórico o las perspectivas de investigación sobre el tema.

Es la Teoría Algebraica de números siendo un área activa de investigación? Pregunto esto porque casi todo lo que he leído o escuchado sobre la teoría de los números de los últimos años parece implicar métodos analíticos (análisis armónico, probabilidad, ergodic theory, etc.), que no es mi taza de té.

Como yo soy más de álgebra impulsado por tipo (lo que significa que estoy instinctly atraído a cosas como el Álgebra Conmutativa, Geometría Algebraica, Teoría de Galois y, por supuesto, la Teoría Algebraica de números), me gustaría que estuvieran todavía activas líneas de investigación en Teoría de números se utilizan los métodos algebraicos, al menos en su mayor parte.

Sé que esta pregunta es muy vaga, pero es que así soy capaz de ponerlo en práctica ahora mismo, por lo que cualquier consejo, opinión, sugerencias de lectura, etc. sería muy apreciada.

Answer 1

Hoy en día, la distinción entre algebraica y la teoría analítica de números no es en las pruebas, pero en las preguntas que están tratando de responder. La teoría analítica de números hace preguntas como "¿cómo están distribuidos los números primos en el número de la línea?" La teoría algebraica de números hace preguntas como "¿cómo primos dividida en una determinada extensión de los campos de número?"

Muchas preguntas en la teoría algebraica de números son difíciles de responder sólo por el uso de álgebra. Ha habido una enorme cantidad de conocimientos obtenidos mediante la incorporación de técnicas de análisis. Por ejemplo, no se conoce ninguna prueba solo usando álgebra de que no hay ninguna que no sea trivial unramified extensiones de $\mathbb Q$. Pero el Minkowski obligado para el discriminante muestra de que nunca es trivial.

Hay algunas preguntas profundas sobre entero de soluciones de ecuaciones polinómicas, que han sido contestadas por la conexión a las formas modulares. De manera más general, las representaciones y asociados L-funciones de la reductora grupos se espera que el rendimiento considerable aritmética visión una vez que el Langlangs Programa es completa. Esta parece ser la dirección más prometedora para el futuro de la teoría algebraica de números.

Si te gusta la teoría algebraica de números, yo recomendaría abrazando las técnicas de análisis con la algebraica. Cuando usted está realmente haciendo este tipo de matemáticas, usted no será capaz de distinguir si usted está haciendo álgebra o análisis. Si realmente no les gusta el análisis, usted puede ser mejor hacer algo como álgebra conmutativa.