¿Por qué no $dy/dx$ (en este caso, $dr/dt) $ simplemente la velocidad o la pendiente?

Question

Me llegó tarde a la matemática de la fiesta y no tienen licenciatura de Matemáticas calificación (estoy haciendo un Mathsy postgrado así que he intentado mi mejor para ponerme a velocidad, pero las bases son terriblemente inestable) así que por favor explicar como me voy cinco, si es posible.

He leído el otro "no es $dy/dx$ una relación de" / "cuando puede a $dy/dx$ ser una relación para todos los intentos y propósitos" los puestos, pero las respuestas no son demasiado complejo para mis propósitos o muy retirado de mi problema en particular para mí para aplicar las respuestas sensatez.

Estoy ayudando a mi hermosa vecina con su de alto nivel de la escuela de Matemáticas en el momento y ella me hizo una pregunta yo simplemente no puede proporcionar una satisfactoria y sencilla respuesta.

Estamos tratando con rudimentarios de cálculo, una mancha de aceite, para ser exactos. Estamos usando la cm, así como las unidades y ya hemos calculado dr/dt: $$\frac{dr}{dt}=\frac{2\times10^7}{\pi r}\text{ cm}$$ La siguiente parte de la pregunta, nos pregunta cuantas horas hasta que el radio de 1km para 1x10^5 cm para nuestra pregunta en particular.

Podría alguien ser tan amable de explicar simplemente por qué no podemos dividir la radio por la "tasa"? ¿Por qué no puede simplemente ser tratada como una tasa/pendiente?

Sé que en su lugar debe establecer la integral de $r.dr =\int (2x10^7/\pi).dt$ para encontrar la respuesta correcta. Y yo, por supuesto, aviso que este provoca un valor que es la mitad que el que se obtiene de la simple división de la radio por $dr/dt.$ Dónde/por qué/cómo en el enfoque más sencillo estoy descuidando a dividir por 2?

Pido disculpas por el bajo nivel de esta pregunta. Me hizo recorrer una serie de recursos y la hizo encontrar semejanzas de respuestas, pero ninguna que realmente han hecho clic en me / ninguno que puedo relé v simplemente a mi tutee. Soy consciente de que yo pueda ser increíblemente denso, así que me disculpo por esto también, y entender si no vale la pena el tiempo para contestar! Como dije, traté en vano de resolver el problema a mí mismo antes de decidir el tipo de molestia que aquí en MathExchange.

Muchas muchas gracias!

Answer 1

$\frac {dy}{dx}$ es la tasa instantánea. Usted no puede simplemente dividir la radio por la frecuencia debido a que el ritmo está cambiando con el tiempo. Si usted hace su cálculo cuando el radio es $1$ cm, se obtiene una tasa de $\frac {2 \cdot 10^7}{\pi}$ y sólo se tarda $\frac \pi{200}\cdot \frac {10^5-1}{10^5}$ segundos para llegar a $r=10^5$. Si usted comienza a al $r=100$ la tasa de es $\frac {2 \cdot 10^5}{\pi}$ y tarda $\frac \pi{2}\cdot \frac {10^5-100}{10^5}$. No puede tomar más tiempo para llegar a de $100$ $10^5$que se tarda en llegar de $1$ $10^5$porque a partir de $1$ tienes que ir a través de $100$.

Answer 2

(Esta es la dirección de la factor de dos. Terminó siendo demasiado largo para un comentario.)

La razón que usted no puede simplemente dividir por la tasa de interés es, como Ross Millikan, explica, debido a que la tasa de crecimiento está cambiando constantemente. Usted podría, sin embargo, se divide por el promedio de la tasa de crecimiento durante el intervalo dado, y que es donde el factor de dos. Usted puede ver a un factor de dos a hurtadillas cuando se integran $r\,dr$, pero hay una mejor manera de ver que no es una coincidencia.

Hasta ahora, he estado buscando en el radio de la mancha como una función de $f$ de su tiempo, sino para resolver este problema usted realmente desea el inverso $f^{-1}$ de esta función, que es, le gustaría saber cuánto tiempo se tarda en llegar a un cierto radio. El teorema de la Función Inversa nos dice que, en virtud de alguna de fácil cumplen las condiciones, la función inversa existe y, además, que el $(f^{-1})'=1/f'$. A grandes rasgos, bajo condiciones adecuadas, la diferenciación y la inversión "de camino al trabajo." (Este es uno de los teoremas que nos permite conseguir lejos con el tratamiento de la ${dy\over dx}$ como una fracción común.) Este teorema es también uno de los que está utilizando al separar variables e integrar, como haces en tu pregunta.

Así, invertir ${dr\over dt}$ para obtener la instantánea de horas por cm, el cual tiene la forma $kr$, y, a continuación, integrar para obtener $\frac k2(b^2-a^2)$ como el tiempo que tarda la mancha a crecer a partir de un radio de $a$ a un radio de $b$. Ahora, sin embargo, la tasa que se está tratando es una función lineal, por lo que la tasa de crecimiento promedio durante este intervalo, es, simplemente,${b+a\over2}k$. Si se multiplica esta tasa promedio de la longitud de la $b-a$ del intervalo, se obtiene la misma respuesta que usted hizo por la integración. (Este es un caso especial de un importante teorema acerca de las integrales definidas, pero si usted piensa acerca de ellos, como áreas bajo una curva, debe ser intuitivamente obvio.) En resumen, se puede ver la "perdida" factor de $2$ como viene de tener el promedio de la tasa de crecimiento en el rango de marea tamaños.