Mostrar que una matriz $A$ es singular si y solo si $0$ es un valor propio.

Question

No puedo encontrar el eslabón perdido entre la singularidad y los eigenvalores cero como se afirma en la siguiente proposición:

Una matriz $A$ es singular si y solo si $0$ es un eigenvalor.

¿Alguien podría arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

$A$ singular $\iff\det(A)=0\iff\det(A-0\cdot I)=0\iff 0$ es valor propio de $A$.

Michael

Answer 2

Tenga en cuenta que el determinante de la matriz $n\times n$ $A$ se puede calcular usando los valores propios de la siguiente manera:

$$ |A|=\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n ,$$

que es el producto de los valores propios.

Answer 3

Sabemos que $0 \in \lambda(A)$ si y solo si existe alguna solución distinta de cero a la ecuación del vector propio $Ax = \lambda x = 0\cdot x = 0$. Por lo tanto, $0$ es un autovalor si y solo si $\exists b \in \mathrm{Ker}(A)$ con $b \neq 0$. Pero dado que $\mathrm{Ker}(A) \neq \{ 0 \}$ concluimos que $A$ debe ser singular.

Answer 4

Si 0 es un eigenvalor, entonces existe un vector $v$ en tu espacio tal que $A.v = 0$. Si el tamaño de tu matriz es 4x4 con un eigenvalor de 0 y escribes la imagen de los eigenvectores, obtienes:

$$(v11, v12, v13, 0)$$ $$(v21, v22, v23, 0)$$ $$(v31, v32, v33, 0)$$ $$(v41, v42, v43, 0)$$

Puedes ver que es singular porque:

• los 3 vectores no pueden abarcar un espacio de 4 dimensiones, es un hiperplano, un sub-espacio tridimensional en 4 dimensiones (así que sería una línea en dos dimensiones, un plano en tres dimensiones)
• cualquier punto que no esté en el hiperplano no puede ser descrito como una combinación de los 3 vectores columna descritos anteriormente. Por lo tanto, no todos los puntos pueden ser alcanzados mediante la multiplicación por $A$.
• entonces, la transformación que es $A$ no siempre puede ser invertida, porque para todo $y$ no siempre hay un punto $x$ tal que $Ax=y$ (por ejemplo, el $y$ que no está en el hiperplano)
• así que $A$ es singular, no puede ser invertida en general

espero que esto aclare suficientemente el razonamiento.

Answer 5

Todo depende de tu definición inicial. Aquí tienes una forma, supongamos que $v$ es el vector propio asociado con $\lambda=0$, entonces $Av=0v=0$. Dado que $v\ne 0$ por definición, entonces tienes un vector no trivial en el espacio nulo de $A$ que hace que $A$ sea singular.