Dejemos que $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ Para cuántos polinomios $Q(x)$ ¿existe un polinomio $R(x)$ de grado 3, tal que $P(Q(x))=P(x).R(x)?$

Question

Dejemos que $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ Para cuántos polinomios $Q(x)$ ¿existe un polinomio $R(x)$ de grado 3, tal que $P(Q(x))=P(x).R(x)?$

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Dejemos que $R(x)$ sea un polinomio de tercer grado $ax^3+bx^2+cx+d=0$

En $P(Q(x))=P(x).R(x)$ El RHS es un polinomio de sexto grado, por lo que el LHS también debe ser un polinomio de sexto grado,

Así que $Q(x)$ debe ser un polinomio cuadrático (digamos $ax^2+bx+c=0$ )

Pero no sé cómo argumentar más y resolver más.Por favor, ayúdenme.Gracias.

Answer 1

Sugerencia : Si $P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)$ para todos $x$ entonces debemos tener:

$$P(Q(1)) = P(1) \cdot R(1) = 0$$ $$P(Q(2)) = P(2) \cdot R(2) = 0$$ $$P(Q(3)) = P(3) \cdot R(3) = 0$$

Dado que los ceros de $P$ están en $1,2,3$ Debemos tener $Q(1),Q(2),Q(3) \in \{1,2,3\}$ .

Para cada uno de los $3^3 = 27$ formas de asignar valores a $Q(1)$ , $Q(2)$ y $Q(3)$ hay exactamente un polinomio posible $Q(x)$ con grado $\le 2$ . ¿Cuántos de ellos resultan en $Q(x)$ siendo un polinomio cuadrático (es decir, no lineal o constante)?