Sea $P \subset \mathbb{R}^d$ ser un $d$ -donde todos los vértices se encuentran en coordenadas integrales, y sea $L(P,n)$ denotan el número de puntos de la red integral contenidos en el politopo a escala $n \cdot P$ es decir $L(P,n) := \# ((n \cdot P) \cap \mathbb{Z}^d)$ . Entonces sabemos por un teorema de Ehrhart:
- La función generadora $E(P,t) := \sum_{n=0}^\infty L(P,n) \cdot t^n$ es una función racional de la forma $E(P,t) = \frac{h(t)}{(1-t)^{d+1}}$ donde $h$ es un polinomio con $h(1) \neq 0$ .
- $L(P,n)$ es un polinomio en $n$ para todos los enteros positivos.
Me pregunto si estos resultados también pueden obtenerse mediante el siguiente planteamiento algebraico: Sea $k$ sea un campo arbitrario y $M := \text{Cone}(P \times \{1\}) \cap \mathbb{Z}^{d+1}$ considerado como submonoide de $\mathbb{R}^{d+1}$ . Entonces el álgebra monoide noetheriana $k[M]$ est $\mathbb{Z}$ -calificada con respecto a la $(d+1)$ -y la correspondiente serie de Hilbert de $k[M]$ coincide con $E(P,t)$ . Por el teorema de Hilbert-Serre esta serie es una función racional de la forma $E(P,t) = \frac{f(t)}{\prod_i 1-t^{e_i}}$ . También está claro que si podemos demostrar que todos los $e_i$ se puede elegir que sea $1$ se deduce que $L(P,n)$ es una función polinómica para todo suficientemente grande $n$ .
¿Hay alguna forma elegante de proceder con este planteamiento para obtener los mismos resultados que arriba?
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@user26857: Efectivamente, ¡este libro es muy útil! Responderé a mi pregunta en cuanto entienda todos los detalles de la prueba (a no ser que alguien lo haga mientras tanto).
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