Un parámetro de subgrupos y de soporte de la Mentira

Question

Supongamos que $G$ es una Mentira grupo. Es fácil probar que determinado $X \in Lie(G)$ no existe un único parámetro subgrupo $\phi_X : \mathbb{R} \to G$ tal que $\dot{\phi}(0)=X$. Mi pregunta es: dado $X,Y \in Lie(G)$, es posible describir el parámetro-subgrupo $\phi_{[X,Y]}$ en función de $\phi_X$$\phi_Y$?

Answer 1

Naturalmente, $\dot{\phi}_{[X,Y]}(0)(f) = [X,Y](f)$ donde $f$ es una función suave. Entonces $$[X,Y](f) = X(Y(f))-Y(X(f)) = X( \dot{\phi}_Y(0)(f)) - Y( \dot{\phi}_X(0)(f))$$ O, más al punto, $\dot{\phi}_{[X,Y]}(0) = [\dot{\phi}_X(0),\dot{\phi}_Y(0)] $. Más se puede decir si hemos de pensar más acerca de los flujos a lo largo de $X$ $Y$ con respecto a los parámetros de $t$$s$. Voy a decir más, un poco más tarde.

Continuando, se defina o se derivan $\exp(tX) = \phi(t)$ donde $\dot{\phi}(0)=X$. Por lo tanto, la pregunta que usted está pidiendo también es traducido a la siguiente pregunta acerca de la exponencial mapa: ¿cómo puede $\exp([X,Y])$ estar relacionado con $\exp(X)$$\exp(Y)$ ? Por supuesto, en el más que interesante respuesta a esto es ofrecido por el centro de intercambio de información-fórmula: $$ \exp(X)\exp(Y) = \exp(X+Y+\frac{1}{2}[X,Y] + \cdots) $$ y $$ \exp(Y)\exp(X) = \exp(X+Y-\frac{1}{2}[X,Y] + \cdots) $$ donde solía $[Y,X] = -[X,Y]$. Si podemos resolver para$\exp( [X,Y])$, esto nos daría un poco de fórmula para $\phi_{[X,Y]}(1).$ Considerar, \begin{align} \exp(X)&\exp(Y)\exp(-Y)\exp(-X) = \\ &= \exp(X+Y+\frac{1}{2}[X,Y] + \cdots)\exp(-X-Y+\frac{1}{2}[X,Y] + \cdots) \\ &= \exp([X,Y] + \cdots) \end{align} donde he aplicado el BCH fórmula para hacer el último paso. Por otro lado, $\exp(X)\exp(Y)\exp(-Y)\exp(-X) = \exp(X)\exp(-X) = I$ así: $$ \exp([X,Y] + \cdots) = I$$ El siguiente término en la $+ \cdots$ proviene de $$ \frac{1}{2}[X+Y+\frac{1}{2}[X,Y], -X-Y+\frac{1}{2}[X,Y]] = \frac{1}{4}[X+Y,[X,Y]]+\frac{1}{4}[[X,Y], -X-Y]$$ lo que se reduce a $$ \frac{1}{4}[X+Y,[X,Y]]+\frac{1}{4}[[X,Y], -X-Y] = \frac{1}{2}[X+Y,[X,Y]] = \frac{1}{2}[X,[X,Y]]+\frac{1}{2}[Y,[X,Y]] $$ Esto indica $$ \exp([X,Y] +\frac{1}{2}[X,[X,Y]]+\frac{1}{2}[Y,[X,Y]]+ \cdots) = I.$$

Answer 2

Si $\exp(tX)=\phi_X(t)$ tenemos que $$ \exp[X,Y] = \lim_{n \to \infty} \left[ \exp \left(\frac{X}{n} \right), \exp \left(\frac{Y}{n} \right) \right]^{n^2} \ ,$$ donde $[\cdot, \cdot]$ sobre el lado derecho está el conmutador de operación en el interior de la Mentira de grupo. Ver Fulton-Harris "Teoría De La Representación. El primer curso", pag 118.