Conjuntos conectados no limitados $S\subset \Bbb{R}^n$ tal que $x\mapsto ||x||^t$ es uniformemente continua en $S$ ?

Question

Pasar la noche revisando mis viejas respuestas, y esta pregunta me dejó pensando en lo siguiente.

Equipemos $\Bbb{R}^n$ con la métrica euclidiana habitual, y consideremos el mapa $N_t:\Bbb{R}^n\to \Bbb{R}$ , $N_t(\vec{x})=||\vec{x}||^t$ . El parámetro $t$ es una constante positiva, y la pregunta que quiero hacer es:

Para qué pares $(n,t)$ ¿existe un conjunto no limitado conectado por el camino $S\subset \Bbb{R}^n$ tal que la restricción $N_t\vert_S$ es uniformemente continua?

"Claramente" con $n=1$ necesitamos $t\le1$ . Conectado a la ruta + sin límites no deja margen de maniobra para la elección de $S$ . Las respuestas a la pregunta vinculada dan conjuntos tales que $N_2\vert_S$ es uniformemente continua, pero esos conjuntos no son conectados - de ahí esta pregunta.

Con $n\ge2$ el juego es más interesante. Estoy pensando en un $S$ como un camino que se extiende lentamente en espiral. Con $n=2$ algo así como $S$ = La espiral de Arquímedes, con la distancia desde el origen creciendo a la tasa constante de una unidad por cada revolución completa, parece buena para mostrar que todo $t\le2$ están bien. Aquí la longitud de la ruta en el $n$ El bucle se trata de $2\pi n$ lo que significa que si $\vec{x}$ se mueve por $<\delta$ la distancia desde el origen cambiará en aproximadamente una vez constante $\delta/n$ . En ese caso $N_2(\vec{x})$ crecerá de $n^2$ a $(n+K\delta/n)^2\approx n^2+2K\delta$ que está bien, apenas, a los efectos de la continuidad uniforme.

No parece tan prometedor para $t>2$ . Si la espiral es más lenta, la distancia entre las vueltas consecutivas de la espiral tenderá a cero. Parece que eso hace que la continuidad uniforme sea un objetivo poco realista, y

El argumento del usuario147263 de los comentarios bajo la pregunta muestra que el exponente $t$ no puede superar la dimensión del espacio ambiental.

No he pensado realmente en $n\ge3$ . Podemos utilizar el margen de maniobra extra pasando más tiempo a la misma distancia, como "casi cubrir" la esfera en el radio $n$ mientras se desplaza gradualmente hacia la esfera de radio $n+1$ y repitiendo para siempre. Pero no conozco ningún buen 3D-espiral, sin olvidar $n$ D.

¿Alguna idea? ¿Ideas? ¿Espirales adecuadas de mayor dimensión? ¿Trabajos conocidos?

Answer 1

Dejemos que $r:(0,\infty)\to(0,\infty)$ y $\omega:(0,\infty)\to S^{n-1}$ sean funciones suaves que definen una curva $\gamma$ por $\gamma(s)=r(s)\omega(s)$ en coordenadas esféricas. Quiero elegir $S=\gamma((0,\infty))$ , por lo que tengo que asumir $r(s)\to\infty$ como $s\to\infty$ . También asumiré $r$ para ir aumentando y $t$ para ser positivo.

Dejemos que $f(x)=\|x\|^t$ . Para asegurar la continuidad uniforme, quiero que la constante local de Lipschitz de $f|_S$ en $\gamma(s)$ , $$ L(s)=\frac{\frac{d}{ds}f(\gamma(s))}{\|\dot\gamma(s)\|}, $$ para ser uniformemente acotado. Tenemos $$ \frac{d}{ds}f(\gamma(s)) = tr^{t-1}\dot r $$ y $$ \|\dot\gamma(s)\|^2 = \|\dot r\omega+r\dot\omega\|^2 = \dot r^2+r^2\|\dot\omega\|^2. $$ Para la última ecuación, observe que $2\omega\cdot\dot\omega=\frac{d}{ds}\|\omega\|^2=0$ . Así, $$ L(s)^2 = t^2\frac{r^{2(t-1)}\dot r^2}{\dot r^2+r^2\|\dot\omega\|^2} = t^2\frac{r^{2(t-1)}}{1+(\|\dot\omega\|/\dot\ell)^2}, $$ donde $\ell=\log(r)$ .

Para la espiral de Arquímedes $r=\omega=s$ obtenemos $L(s)^2=t^2s^{2(t-1)}/(1+s^2)$ que permanece acotado si y sólo si $t\leq2$ . Esto era de esperar.

Un límite uniforme en $L(s)$ no es suficiente para la continuidad uniforme; si la "espiral" $S$ está demasiado apretado, $f|_S$ no es uniformemente continua. Para facilitar el manejo de esta cuestión, vamos a suponer que $\omega$ es periódica con algún periodo $p>0$ . No estoy seguro de que una elección periódica sea óptima, pero tengo la vaga sensación de que una "espiral óptima" es lo suficientemente periódica para que el argumento funcione.

Tenga en cuenta que si desea una continuidad uniforme con respecto a la métrica de la trayectoria, la delimitación $L(s)$ es suficiente. Si lo quieres con la métrica euclidiana inducida, no lo es.

Supongamos que queremos la continuidad de Hölder con exponente $\alpha\in(0,1]$ . Entonces obtenemos el requisito de que $$ r(s+p)^t-r(s)^t\lesssim (r(s+p)-r(s))^\alpha. $$ (No quiero seguir con las constantes multiplicativas, y asumiré $r$ que pueda hacer algunas aproximaciones). La función $r$ no puede crecer demasiado rápido si queremos $L(s)$ para permanecer acotado, por lo que $$ r(s+p)^t-r(s)^t\approx t(r(s+p)-r(s))r(s)^{t-1} $$ debería ser una aproximación razonable. Esto, combinado con la estimación anterior, da como resultado $$ (r(s+p)-r(s))^{1-\alpha}r(s)^{t-1}\lesssim 1. $$ Aproximación a $r(s+p)-r(s)\approx p\dot r(s)$ obtenemos $$ \dot r(s)^{1-\alpha}r(s)^{t-1}\lesssim 1. $$ Esta condición no es necesaria para la continuidad uniforme si $r(s+p)-r(s)$ tiene un límite inferior uniforme.

Para hacer $L(s)$ acotado deberíamos tener $$ r^{2(t-1)} \lesssim (\|\dot\omega\|/\dot\ell)^2. $$ Si elegimos la parametrización de manera que $\|\dot\omega\|$ es constante, terminamos con dos requisitos (si $r(s+p)-r(s)\to0$ como $r\to\infty$ ):

1. $\dot r^{1-\alpha}r^{t-1}\lesssim1$ ,
2. $\dot r r^{t-2}\lesssim1$ .

Suponiendo que $\alpha<1$ (que no es muy restrictiva), la primera condición puede reescribirse como $\dot r r^{(t-1)/(1-\alpha)}\lesssim1$ . La condición se convierte entonces en $$ \dot r r^{\max\{(t-1)/(1-\alpha),t-2\}}\lesssim1. $$ Si la espiral se aprieta de manera que $r(s+p)-r(s)\to0$ como $r\to\infty$ el módulo de continuidad de $N_t|_S$ debe ser tan malo como el de $N_t$ en todo $\mathbb R^n$ (aunque esto no aparece de alguna manera en el cálculo anterior).

Parece que el camino más prometedor es exigir que $r(s+p)-r(s)\gtrsim1$ y $\dot r r^{t-2}\lesssim1$ .

Aunque esta respuesta no es concluyente...

Answer 2

(Esto es más bien un "boceto de prueba" por el momento).

Los pares son exactamente $(t,n)$ con $t\leq n.$ La necesidad fue publicada en un comentario que citaré aquí:

Para $t>n$ no existe tal conjunto: Para todo conjunto suficientemente grande $k$ el conjunto $S$ debe contener un punto $x_k$ con $\|x_k\|=k^{1/t},$ por la conectividad. Dado que $N_t(x_k)=k,$ los puntos $x_k$ deben estar uniformemente separados: existe $\delta>0$ tal que $\|x_k−x_j\|\geq\delta$ para todos $k\neq j.$ Para los grandes $R,$ la pelota $B(0,R)$ contiene más de $R^t/2$ puntos $x_k.$ Como las bolas $B(x_k,\delta/2)$ son disjuntos, se deduce que $R_n\geq(R^t/2)(\delta/2)^n,$ lo que da lugar a una contradicción cuando $R$ es lo suficientemente grande. - usuario147263

Para $t=n$ no hay contradicción, pero las bolas $B(x_k,\delta/2)$ terminan cubriendo una proporción positiva de $B(0,R).$ Por lo tanto, el conjunto no llena del todo el espacio, pero se acerca: un $\delta/2$ -La vecindad del conjunto cubre una fracción positiva del espacio.

Sólo voy a considerar el $t=n$ caso, porque quiero reutilizar la letra $t.$ Asumo que $n\geq 2.$ (Tal vez sea interesante que para $n\geq 3$ la construcción puede tener lugar dentro de cualquier cono con interior no vacío, en particular en $\mathbb R_{>0}\times \mathbb R^{n-1},$ mientras que para $n=2$ a menos que me equivoque, no existe ningún subconjunto conexo no limitado del semiplano superior $\mathbb R_{>0}\times\mathbb R$ en el que $N_2$ es continua).

Dejemos que $\mathbb T$ denotan el espacio métrico $\mathbb R/\mathbb 2\pi Z$ con la métrica $d(x,y)=\min_{n\in\mathbb Z}|x+2\pi n-y|.$ Existe una incrustación bilipschitz $\phi$ de $\mathbb T\times [0,1]^{n-2}$ en la esfera $S^{n-1}.$ Para $n=2$ esto es sólo incrustar un círculo en un círculo; para $n>2$ incrustar $\mathbb T\times [0,1]\to\mathbb R^2$ como un anillo, pasar por las otras coordenadas para obtener una incrustación $\mathbb T\times [0,1]^{n-2}\to\mathbb R^{n-1},$ a continuación, utilizar la proyección estereográfica $\mathbb R^{n-1}\to S^{n-1}.$

Comenzar con la curva $\gamma(t)=(t,0,\dots,0)$ para $t>1$ - modificaremos esto. Para cada número entero de impar $m>3,$ en el segmento $m<t<m+1,$ la curva vive en un $(n-1)$ -cubo de dimensiones $[m,m+1]\times [0,1]^{n-2}.$ Podemos pensar que se trata de un camino a través de un $(n-1)$ -dimensional $m\times m\times \dots\times m$ gráfico de rejilla, con tamaño de paso $1/(m-1),$ donde la trayectoria comienza en una esquina y sale en otra. Sustituye la curva dentro de este cubo por una trayectoria hamiltoniana con el mismo inicio y final - esto es bastante fácil de construir. Suavice las esquinas. Lo importante es que no haya "atajos" significativos menores que $\Theta(1/m)$ en concreto, para dos puntos cualesquiera a distancia euclidiana $L<1/2m$ la longitud de arco de la curva entre estos puntos es como máximo $L/2.$

Haga la modificación para cada impar $m>3.$ Dejemos que $s(t)$ denotan la siguiente longitud de arco modificada: $$s(t)=\int_1^t \tau|\gamma'(\tau)|\;d\tau.$$

Entonces $s(t)$ aumenta en $\Theta(m^{n-1})$ durante $m<t<m+2,$ que da $s(t)=\Theta(t^n).$ Establecer $S_n=\{s(t)^{1/n}\phi(\gamma(t))\mid t>1\}.$ Debe quedar claro que $S_n$ es ilimitada y está conectada por un camino. Afirmo que $N_n$ es uniformemente continua en $S_n,$ de hecho satisface una especie de propiedad de Lipschitz en escalas pequeñas. Consideremos $3<t<t'.$ Queremos mostrar $$|s(t)-s(t')|\leq C\|s(t)^{1/n}\phi(\gamma(t))-s(t')^{1/n}\phi(\gamma(t'))\|\tag{*}$$ para alguna constante grande $C,$ siempre que el lado derecho sea menor que una pequeña constante $c>0.$

La forma agradable de que el lado derecho sea pequeño es cuando $|t-t'|<2$ y la cantidad $L=|\gamma(t)-\gamma(t')|$ es como máximo $1/4t.$ Entonces, como no hay "atajos" debemos tener $|s(t)-s(t')|<2Lt.$ Utilizando $s(t)^{1/n}=\Theta(t),$ el lado derecho de (*) es $\Theta(Lt),$ lo cual es perfecto.

Tenemos que descartar la posibilidad de que el lado derecho sea pequeño después de hacer un bucle $\mathbb T$ un número de veces. Pero esto sólo ocurriría si $|t-t'|>2,$ lo que significa $|s(t)-s(t')|>\Theta(t^{n-1}),$ que hace que $|s(t)^{1/n}-s(t')^{1/n}|>\Theta(1).$ Así que el lado derecho no puede ser pequeño de esta manera.