Puede que todas las expresiones complejas que ser simplificada a la forma $a+jb$?

Question

Hay expresiones complejas que no se puede simplificar de la forma $a+jb$, donde a y b son números reales?

Por ejemplo, $$\frac{1}{j}=0+j(-1),\hspace{0.5cm}e^j=\cos(1)+j\sin(1),\hspace{0.5cm}\sin(j)=0+j\frac{e^2-1}{2e}$$

Por lo que yo entiendo, todos los números complejos debe existir en algún lugar en el plano complejo, donde a y b son las coordenadas. Pero algunas expresiones que no tienen ninguna manera obvia para ser simplificada: $$\ln(1+j)=???,\hspace{0.5cm}\arctan(j)=???$$ Si cada expresión se puede simplificar, hay buenas referencias, o la lista de identidades?

Answer 1

Para obtener $\ln(z)$ para cualquier compleja $z$ (donde $z \ne 0$), escribir $z = |z|y$.

A continuación,$|y| = 1$, así que hay una real $t$ tal que $ $ y = e^{it} =\cos(t)+i\sin(t) $, así $z = |z|y = |z|(\cos(t)+i\sin(t)) = |z|\cos(t)+i|z|\sin(t) $.

Desde $|1+j| = \sqrt{2}$, $(1+j) =\sqrt{2}\frac{1+j}{2} =\sqrt{2}e^{i\pi/4} $, así $\ln(1+j) =\ln(\sqrt{2}e^{i\pi/4}) =\dfrac{\ln(2)}{2}+i\pi/4 $ (usted puede lanzar en $+2\pi i n$ si quieres).

Answer 2

Sí, todas las expresiones complejas que producen un número complejo ($\arctan(i)$ no) puede ser escrita en forma rectangular. Por lo general, puede usar una Serie de Taylor o convertir su expresión a otra forma de encontrar el número complejo en forma rectangular. Aquí hay una página que se ocupa de una gran cantidad de estos casos. La mayoría de estos resultados, utilice $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ a convertir funciones que no parecen trabajar con números complejos en los que sí.

Answer 3

Suponga $z=re^{i\theta}=x+iy$. Entonces $$\ln(z)=\ln(r)+\ln(e^{i\theta})=\ln(r)+i\theta=\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i\arctan(\frac{y}{x})$$

También en cuanto a $\arctan(z)$, no es difícil mostrar que $$\arctan(z)=\frac{1}{2i}\ln\left(\frac{i-z}{i+z}\right)$$

Answer 4

La primera es simple: $$\ln(1+j) = \ln(\sqrt{2} e^{j\pi/8}) = \frac12 \ln 2 + j\frac\pi8$$

Para el segundo: si $$z = \tan w = \frac{\sin w}{\cos w} = \frac1j \frac{e^{jw} - e^{-jw}}{e^{jw}+e^{-jw}}$$ podemos resolver para $w = \arctan z$: $$ e^{2jw} = \frac{1+jz}{1-jz} $$ $$\arctan(z) = w = \frac12 \ln e^{2jw} = \frac12 \ln \left( \frac{1+jz}{1-jz} \right).$$ En particular, cuando se $z = j$: $$\arctan(j) = \frac12 \ln \left( \frac{1+j^2}{1-j^2} \right) = \frac12 \ln 0 $$ y, bueno, $\ln 0$ es indefinido.

Answer 5

Cualquier número complejo a $z$ puede ser expresado como $Re(z)+i Im(z)$.