Demostrar que $R\cong \mathbb{C}^n$

Question

Dejemos que $R=\mathbb{C}[x]/(f(x))$ donde $f(x)$ es un polinomio de grado $n>0$ que tiene $n$ raíces complejas distintas. Demostrar que $R\cong \mathbb{C}^n$ .

He intentado definir un homomorfismo $\phi$ de $\mathbb{C}[x]$ a $\mathbb{C}^n$ tal que $\phi$ es onto y ker $\phi=(f(x))$ . Entonces, por el primer teorema de isomorfismo he terminado. Pero lo difícil es definir explícitamente dicho homomorfismo. Primero intenté dividir un polinomio dado $p(x)$ por $f(x)$ y tomar el polinomio restante. El resto es un polinomio de grado como máximo $n-1$ . Así que tiene $n$ coeficientes. Entonces mi intento fue mapear $p(x)$ a la $n$ tupla de esos coeficientes. Pero entonces me falló la prueba de $\phi$ es un homomorfismo. Entonces, ¿cómo puedo determinar un homomorfismo explícitamente? ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Dejemos que $f(x)=\prod_{i=1}^n (x-\lambda_i)$ . Los ideales $(x-\lambda_i)$ son coprimas por parejas, ya que son máximas y distintas. Por lo tanto, por la Teorema del resto chino tenemos: $$\mathbb{C}[X]/f(x)=\mathbb{C}[X]/ \prod_{i=1}^n (x-\lambda_i)=\prod_{i=1}^n \mathbb{C}[X]/ (x-\lambda_i)=\mathbb{C}^n$$

Answer 2

Si las raíces son $z_1, \ldots , z_n$ entonces un enfoque simple es enviar $f\in \mathbb{C}[X]$ a la tupla $(f(z_1), \ldots , f(z_n))$ .

Es un homomorfismo en cada componente, por lo tanto un homomorfismo. Utilizando la distinción de las raíces, podemos calcular el núcleo sin demasiadas complicaciones.

Para demostrar que es sobreyectiva, cuenta las dimensiones. Alternativamente, podemos utilizar la interpolación de Lagrange (utilizando de nuevo la distinción de las raíces).