Demostrando un teorema relacionado con el cono convexo

Question

Deje $V$ ser finito dimensionales real en el espacio Euclidiano. Deje $C$ ser un no-vacío cono convexo en $V$. Necesito demostrar que las siguientes son equivalentes.

1. int($C$) es no vacío.
2. $C$ contiene una base de $V$.
3. $C-C=V$.

He demostrado que 1 implica 3 y 2 implica 3. Traté de probar 3 implica 2 de la siguiente manera.

Deje $C-C=V$. Necesito demostrar que $C$ contiene una base de $V$. Supongamos que C no contiene una base de V. Deje $\{v_{1},...v_{r}\}$ ser una máxima linealmente independiente situado en $C$ donde $r<n$=dim$V$. Sé que $C-C$ es el menor subespacio de $V$ contiene $C$. Así que si puedo demostrar que $C \subset span\{v_{1},...v_{r}\}$ que es un buen subespacio de $V=C-C$, voy a llegar a una contradicción. Pero yo no soy capaz de demostrar que $C \subset span\{v_{1},...v_{r}\}$.

Es mi enfoque correcto? Alguien puede ayudarme para demostrarlo?! También necesito ayuda para probar cualquiera de las 2 implica 1 o 3 implica 1.

Answer 1

$C\subseteq\text{span}\{v_1,\cdots,v_r\}$ como sigue (a partir de su trabajo, lo cual es bueno): supongamos que no, entonces existe un vector $w\in C$ que no está en el intervalo de $\{v_1,\cdots,v_r\}$. Pero entonces, $\{v_1,\cdots,v_r,w\}$ es un subconjunto linealmente independiente de $C$, contradiciendo la suposición de que $\{v_1,\cdots,v_r\}$ es máxima.

Para el final de la dirección, puede ser más fácil de probar que $2\Rightarrow 1$. Tratar el siguiente: Supongamos que $C$ contiene una base $\{v_1,\cdots,v_n\}$. Vamos $$ w=v_1+\cdots+v_n. $$ Sabemos que $w$ es distinto de cero debido a que $v_1,\cdots,v_n$ son linealmente independientes. Por otro lado, $w\in C$ desde $v_1,\cdots,v_n\in C$. Por otra parte, $w$ está en el interior de $C$ debido a que para cualquier vector $z$ lo suficientemente pequeño, $$ z=c_1v_1+\cdots+c_nv_n $$ donde todos los $|c_i|<1$. A continuación, $w+z\in C$ como todos los coeficientes de la $v_i$'s siguen siendo positivos. Ahora, usted necesita un uniforme obligado en la $c_i$'s basado en la longitud de $z$. Mi prueba de elección de este último hecho podría utilizar la compacidad.

Answer 2

Se supone que $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ es un conjunto independiente máximo en $C$. Sin duda se extiende $C$ (esto es trivial, esta es la definición de una base para la $C$) y es inmediato que $C\subset span\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$.