Son vectores propios preservado por la conjugación de una matriz diagonal?

Question

Deje $A$ ser una verdadera matriz simétrica y $D$ real de una matriz diagonal con los no-cero entradas a lo largo de la diagonal.

Es cierto que los vectores propios de a $D^{-1}AD$ son los mismos que los de $A$?

Si no, ¿puede algo ser dicho relacionados con los vectores propios/valores propios de estas dos matrices?

Answer 1

Deje $A$ ser arbitraria de la matriz y $B=P^{-1}AP$ donde $P$ es arbitraria invertible la matriz.

Si $Av=\lambda v$,$Bw=\lambda w$$w=P^{-1}v$.

En este sentido, similar matrices tienen los mismos valores propios, pero no necesariamente los mismos vectores propios.

En particular, los vectores propios son diferentes al $P$ es una matriz diagonal que no es un escalar múltiples de la matriz de identidad.