Demostrar que $1^3 + 2^3 + 3^3 +\cdots+ n^3 = \frac14n^4 + \frac12n^3 + \frac14n^2$

Question

Tengo que demostrar que esto es cierto para el uso de la inducción matemática.

Tengo este:

para cada $n \in \mathbb N$: $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac 14n^4 + \frac 12n^3 + \frac 14n^2$

para $n = 1: 1^3 = 1/4 + 1/2 + 1/4$, por lo tanto $P(1)$ es cierto.

Deje $N \in \mathbb N$ dado y asumir que $P(N)$ es cierto, que el es $$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = \frac 14N^4 + \frac 12N^3 + \frac 14N^2$$

Para n = $N$ + 1:

Y ahora qué? Yo no podía resolver.

Answer 1

Quizás la manera más fácil de ir sobre esto implica darse cuenta de que $$\frac 14N^4 + \frac 12N^3 + \frac 14N^2=\frac {N^2(N+1)^2}4$$

Si usted agregue $(N+1)^3$ a cada lado de la $P(N)$ obtener $$1^3+2^3+\dots N^3+(N+1)^3=\frac {N^2(N+1)^2}4+(N+1)^3$$

El lado izquierdo es lo que usted necesita para $P(N+1)$ y la tarea es mostrar que el lado derecho también se puede poner en la forma correcta. Usted puede extraer un evidente factor común y poner todo a través de un denominador común y a ver qué pasa.

Si usted no es de notar la forma conveniente para el lado derecho, usted todavía puede trabajar con $\frac 14N^4 + \frac 12N^3 + \frac 14N^2$ para obtener el resultado.

Answer 2

Esta es la idea. La primera nota que su mano derecha es en realidad $\frac{1}{4}N^2(N+1)^2$. Vamos a agregar $(N+1)^3$ a ambos lados de la perspectiva de paso a ver si podemos conseguir el $\frac{1}{4}(N+1)^2(N+2)^2$.

Haciendo esto, hemos

$$1^3 + 2^3 + \cdots + (N+1)^3 = \frac{1}{4}N^2(N+1)^2 + (N+1)^3 = (N+1)^2\left(\frac{1}{4}N^2 + N + 1\right) = \frac{1}{4}(N+1)^2(N^2+4N+4) = \frac{1}{4}(N+1)^2(N+2)^2.$$

A partir de esto, usted tiene claramente que la verdad de las $P(N)$ implica la verdad de $P(N+1)$. Usted debe ser capaz de manejar la escritura a partir de aquí.

Answer 3

Deje $P(N)$ es cierto, que el es $1^3+\ldots+n^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2$

A continuación, para $P(N+1)$, $1^3+\ldots+n^3+(n+1)^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2+n^3+3n^2+3n+1$

$=\frac{1}{4}n^4+n^3+\frac{3}{2}n^2+n+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}$

$=\frac{1}{4}(n+1)^4+\frac{1}{2}(n+1)^3+\frac{1}{4}(n+1)^2$

Que es $P(N+1)$ es cierto.

Answer 4

Tenemos \begin{equation*} 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 +(N+1)^3= \frac 14N^4 + \frac 12N^3 + \frac 14N^2+(N+1)^3 \end{ecuación*} por la hipótesis de inducción. También \begin{equation*} \frac{1}{4}(N+1)^4+\frac{1}{2}(N+1)^3+\frac{1}{4}(N+1)^2=\frac 14N^4 + \frac 12N^3 + \frac 14N^2+(N+1)^3 \end{ecuación*}