Es $\mathbb{E}[Y|X]$ una variable aleatoria?

Question

Si X y y son variables aleatorias, es

$$\mathbb E[Y|X]$$

una variable aleatoria también? Intuitivamente parece ser el caso, pero no puedo explicar por qué.

Answer 1

$E[Y | X]$ es simplemente una abreviatura de $E[Y|\mathcal{F}]$ donde $\mathcal{F}=\sigma(X)$ es el sigma campo generado por la variable aleatoria $X$. Ahora $E[Y|\mathcal{F}]$ es una variable aleatoria, por definición. (Es una variable aleatoria $Z$ medibles con respecto a $\mathcal{F}$ tal que $\int_A Z\ dP = \int_A Y \ dP$ todos los $A \in \mathcal{F}$).