La resolución de una serie de $n(1 + n + n^2 + n^3 + n^4 +.......n^{n-1})$

Question

Estoy tratando de suma de la siguiente serie?

$n(1 + n + n^2 + n^3 + n^4 +.......n^{n-1})$

¿Tienes alguna idea?

Answer 1

Deje $ n + n^2 + n^3 + n^4 + \cdot\cdot\cdot + n^n = Sum $

A continuación,

$ 1 + n + n^2 + n^3 + n^4 + \cdot\cdot\cdot + n^n = Sum + 1$

$ n \times (1 + n + n^2 + n^3 + n^4 + \cdot\cdot\cdot + n^n ) = n \times (Sum + 1)$

$ n + n^2 + n^3 + n^4 + \cdot\cdot\cdot + n^n + n^{n+1} = n\times Sum + n$

$ (n + n^2 + n^3 + n^4 + \cdot\cdot\cdot + n^n) + n^{n+1} = n\times Sum + n$

$ (Sum)+ n^{n+1} = n\times Sum + n$

$ n^{n+1} = (n-1) \times Sum + n$

$ n^{n+1} -n = (n-1) \times Sum$

$ \frac {n^{n+1} -n}{n-1} = Sum$

Por lo tanto,

$ Sum = \sum_{i = 1}^{n} n^i = \frac {n^{n+1} -n}{n-1} $