geométricas similares vs matrices congruentes

Question

Estoy tratando de comprender la similitud $(A \sim B \iff A = SBS^{-1})$ y congruencia $(A \cong B \iff A = PBP^T,\, P\in GL(n, \mathbb{R}))$ a través de analogías geométricas.

Para los triángulos:

• transformaciones afines (es decir, uniforme de escalado, rotación, reflexión, traducción[?]) preservar la similitud. Dos triángulos semejantes tienen equivalente en los ángulos, pero pueden tener diferentes longitudes de lado (es decir, que son medidos en una base diferente)
• transformaciones unitarias (es decir, la rotación, la reflexión, la traducción[?]) preservar la congruencia

Para matrices:

• la similitud se conserva la idea de una transformación lineal; la mayoría de los "geométricamente", autovalores se conservan, pero los ángulos entre los vectores no se conservan
• la congruencia se conserva el de arriba NO conserva el espectro y pero conserva los ángulos entre los vectores (mi interpretación de la forma bilineal de la propiedad) y el número de positivos / negativos / autovalores cero

Sin embargo, sólo requerimos $P$ a sea invertible para la matriz de congruencia $A = PBP^T$. ¿Por qué no requieren $P$ ser unitario (es decir, ¿por qué permitimos que el espectro a cambio)? ¿Por qué es el adjoint $P^T$ importante?

También, hay una analogía para pensar acerca de: (1) cómo los ángulos entre los vectores son conservados por la congruencia, pero no similitud con matrices y (2) cómo los ángulos entre las piernas del triángulo se conservan con tanto semejanza y congruencia, o estoy leyendo demasiado en las convenciones de nomenclatura?

Answer 1

Creo que todo se mezcle. Cuando hablamos de congruencia, las matrices no actúan sobre vectores y, en consecuencia, los ángulos no se pueden conservar. El "similares" en "semejanza de triángulos" no tiene nada que ver con la "similar" al de "similar a las matrices". Cuando escribe "transformaciones afines (es decir, uniforme de escalado, rotación, reflexión, traducción[?])", están lejos de la definición de una función afín.

1. Una función afín es en la forma $f:x\in\mathbb{R}^n\rightarrow Ax+b\in\mathbb{R}^p$ donde $A\in M_{p,n},b\in\mathbb{R}^p$ son fijos.

2. Semejanza de triángulos en el plano. Es asociado (traducción) a una transformación en la forma $z\in\mathbb{C}\rightarrow az$ (por similitud directa) o $z\in\mathbb{C}\rightarrow a\overline{z}$ (para la inversa de similitud) donde $a=u+iv$ fijo es un complejo. Es una composición de homothety, rotación y, eventualmente, de la simetría. La asociada a la aplicación lineal tiene la forma $\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}$ (en un subespacio vectorial de $M_2$ que es isomorfo a $\mathbb{C}$).

3. Cuando hablamos acerca de la semejanza de matrices, la matriz $A$ es considerado como una función lineal y actúa sobre los vectores: $y=Ax$. Por un cambio de base de a$y=Py',x=Px'$$y'=P^{-1}APx$, es decir, la nueva matriz es $P^{-1}AP$.

Cuando hablamos acerca de la congruencia de matrices, la matriz $A$ es considerado como una forma bilineal y actúa en un par de vectores $(x,y)$: $\phi(x,y)=x^TAy$. Por un cambio de base de a$y=Py',x=Px'$$x^TAy=x'^TP^TAPy'$, es decir, la nueva matriz es $P^TAP$.

Tenga en cuenta que, si usamos el estándar de producto interior $<.>$, $\phi(x,y)=<Ay,x>=<y,A^Tx>$, esa es la definición de la adjoint $A^T$.

4. El ortogonal de matrices de $U$ puente de los dos anteriores nociones debido a $U^T=U^{-1}$: por un ortonormales de cambio de base, una matriz de $A$ puede ser considerado como la matriz de una forma bilineal o como la matriz de una función lineal.

EDIT. Respuesta a jjjjjj . Deje $T_1,T_2$ dos triángulos. De acuerdo a las definiciones estándar,

$T_1,T_2$ son similares iff $f(T_1)=T_2$ donde $f $ es afín (cf. 1.) con $A=\lambda U$ donde $\lambda>0$ $U$ es ortogonal.

$T_1,T_2$ son congruentes iff $f(T_1)=T_2$ donde $f $ es afín (cf. 1.) con $A=U$ ortogonal.

Tenga en cuenta que si $\det(U)=1$, entonces los ángulos se conservan y si $\det(U)=-1$, entonces los ángulos se transforman en su contrario.

Suponga que $T_1,T_2$ son congruentes y se coloca en una hoja. Si $\det(U)=1$, entonces podemos arrastrar $T_1$ a $T_2$. Si $\det(U)=-1$, luego nos flip $T_1$, después de eso, nos arrastra a $T_2$.