Encolado de espacios topológicos

Question

La siguiente se llama el encolado de dato:

• Una familia de espacios topológicos $(U_i)$,
• Para todos los $i,j$ abierto subconjunto $U_{ij}\subseteq U_i$
• Para todos los $i,j$ un mapa de $\varphi_{ji}:U_{ij}\to U_{ji}$

tal que

• $\varphi_{ii}=\operatorname{id}$ para atodos $i$,
• $\varphi_{ji}(U_{ij}\cap U_{ik})\subseteq U_{ji}\cap U_{jk}$ todos los $i,j,k$,
• $\varphi_{kj}\circ \varphi_{ji}=\varphi_{ki}$ $U_{ij}\cap U_{ik}$ todos los $i,j,k$.

Luego hay un espacio $X$ junto con abrir continua de las funciones de $\psi_i:U_i\to X$, de tal manera que

1) $X$ es cubierto por las imágenes de la $U_i$,

2) $\psi_j\circ\varphi_{ji}=\psi_i$ $U_{ij}$ todos los $i,j$,

3) $\psi_i(U_i)\cap\psi_j(U_j)=\psi_i(U_{ij})=\psi_j(U_{ij})$ todos los $i,j$.

Por otra parte, $X$ es universal con respecto a 2).

Pregunta: ¿Qué está ocurriendo aquí, categóricamente? Es este un especial colimit? Qué tiene un nombre en la categoría de teoría? Qué partes son categóricos tonterías y que son la topología?

Gracias.

Answer 1

Voy a suponer que el encolado de datos también está destinado a incluir la condición de $U_{ii} = U_i$.

Estoy demasiado cansada como para organizar todo esto en una narrativa, así que esta va a ser bastante distinto.

---

Es bastante frecuente en la categoría de la teoría a considerar dos familias de objetos $X_k$$X_{ij}$, las familias de los mapas de $f_{ij} : X_{ij} \to X_i$$g_{ij} : X_{ij} \to X_j$, y la correspondiente coequalizer

$$ \coprod_{ij} X_{ij} \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} \coprod_k X_k \xrightarrow{\rho} X$$

o, si se incluyen 'redundante' $X_{ii} = X_i$, un pushout plaza

$$ \begin{matrix} \coprod_{ij} X_{ij} &\xrightarrow{f}& \coprod_k X_k \\ \!g\!\downarrow & & \downarrow\!\rho\! \\ \coprod_k X_k &\xrightarrow{\rho}& X \end{de la matriz} $$

La imagen aquí es que el $X_k$'s son una descripción de un objeto de interés, y el $X_{ij}$'s describen las relaciones entre las descripciones.

Geométricamente, se podría pensar en la $X_k$'s como una cubierta, y el $X_{ij}$'s describir la superposición entre ellos. Algebraicamente, se podría pensar en el $X_k$ como generadores, y el $X_{ij}$ como ser de relaciones.

De cualquier manera, es claro que en el "más bonito" de acuerdo, queremos que cada una de las $X_{ij}$ a a ser el pullback de $X_i \to X \leftarrow X_{j}$, por lo que realmente hace describir todas las relaciones entre el$X_i$$X_j$, y en realidad sólo quieren una $X_{ij}$ par de índices.

El encolado de los datos es en este agradable situación, pero no todos los diagramas son: por ejemplo, sólo podríamos tener una mínima descripción de las relaciones, o la cubre en realidad podría auto-cruzan trivial (por ejemplo, tomando el intervalo de $X_1 = [0,2\pi]$ como una cubierta del círculo, con $X_{11}$ ser un punto único asignado a ambos extremos) o otras deficiencias se pueden aplicar.

---

El encolado de datos da un ejemplo de este tipo de diagrama: en cada una de las $U_{ij}$, los dos mapas en $\coprod_k U_k$ provienen de

• $ U_{ij} \hookrightarrow U_i $
• $ U_{ij} \xrightarrow{\varphi_{ji}} U_{ji} \hookrightarrow U_j $

Además, los datos afirman que hay "solo" en el sentido de que el $\varphi_{ji}$ da un homeomorphism $U_{ij} \to U_{ji}$, y lo hacen de manera coherente en el sentido de que $\varphi_{ij} = \varphi_{ji}^{-1}$$\varphi_{ii} = 1_{U_i}$, por lo que los diferentes "caminos" $U_{ij} \to U_{ji}$ el (e.g $\varphi_{ji}$ frente al $\varphi_{ji} \circ \varphi_{ii} \circ \varphi_{ij} \circ \varphi_{ji}$) todos dan el mismo mapa.

---

La propiedad de que la parte Superior tiene que hace esta configuración cómoda para trabajar con es que es infinitary amplio — es decir, que co-productos realmente actúan como distintos sindicatos. No sé si esto es realmente necesario, pero de todas maneras quiero razonar acerca de encolado de datos dependen de él.

---

A veces, también queremos considerar otra familia de $X_{ijk}$, esta vez con tres mapas de abajo a los diversos $X_{mn}$. Tenemos presente en el encolado de datos: podemos definir la $U_{ijk} = U_{ij} \cap U_{ik}$. Y de nuevo tenemos "solo" por el triple de los índices, ya tenemos de nuevo coherente homeomorphisms entre las diferentes permutaciones. Es suficiente para comprobar

• $U_{ijk} = U_{ikj}$
• $\varphi_{ji} : U_{ijk} \to U_{jik}$ es un homeomorphism
• Los dos homeomorphism $U_{ijk} \to U_{kji}$ $\varphi_{ki}$ $\varphi_{kj} \circ \varphi_{ji}$ son los mismos.

Podríamos ir más lejos. Esto conduce a un ejemplo simple de un objeto simplicial.

---

La parte superior es lo suficientemente bueno para hablar de las relaciones. El colimit la definición de $X$ puede ser visto como tomar el cociente de $\coprod_k U_k$ por la relación que los dos mapas de $\coprod_{ij} U_{ij} \rightrightarrows \coprod_k U_k$ dar equivalente salidas para cada entrada.

Normalmente, esta relación no es una relación de equivalencia, y por lo que el cociente es por la relación de equivalencia generada por esta relación.

Sin embargo, el bueno de tener los mapas de transición $\varphi$ es que la relación es una relación de equivalencia, por lo que el colimit es mucho, mucho más fácil trabajar con. La parte interesante es que es una relación transitiva, que se puede comprobar observando que

$$ x \sim \varphi_{ji}(x) \quad \text{and} \quad \varphi_{ji}(x) \sim \varphi_{kj}(\varphi_{ji}(x)) $$

sólo tiene sentido cuando se $x \in U_{ijk}$, y que la propiedad transitiva requiere de $x \sim \varphi_{ki}(x)$, lo que tenemos.

---

En la parte Superior, tener los mapas de transición implica que el $\psi_i : U_i \to X$ son monic. Creo que incluso se puede argumentar que es regular monic. La mano que no sé lo que quieres de la categoría a decir tales cosas.

---

Finalmente, la última característica es acerca de abrir subespacios. Mientras que al parecer la parte más topológico en sabor, también tiene un resumen analógica.

La parte superior tiene un subespacio abierto de clasificador. Deje $S = \{0,1\}$ ser el espacio de Sierpinski, con una topología $\{\varnothing, \{1\}, S\}$. Entonces existe un natural bijection entre abrir los subespacios de $X$ y continua de los mapas de $X \to S$:

• Para cada subconjunto abierto $U \subseteq X$, la función característica $\chi_U : X \to S$ es continua
• Para cualquier mapa continuo $\chi : X \to S$, la inversa de la imagen $f^{-1}(1)$ es un subconjunto abierto

Por lo tanto, puede mostrar que $\psi_i(U_i) \subseteq X$ es un subespacio abierto mostrando que los mapas $$ \chi_{ij} : \coprod_i U_j \a S : x \mapsto \begin{cases} 1 & x \in U_{ji} \\ 0 & x \notin U_{ji} \end{casos} $$ inducir una bien definida mapa de $\chi_i : X \to S$,$\chi_i^{-1}(1) = \psi_i(U_i)$.

De la mano, no estoy seguro de qué propiedades adicionales que usted necesita (si los hubiera), para ser capaz de hacer este argumento en la parte Superior.

Answer 2

Aquí viene un diagrama en $\mathrm(Top)$ cuyo colimit es el que desea pegar. Dado un encolado de referencia como en el texto de la pregunta, el diagrama consistirá en

• todos los $U_i$ y todos los $U_{ij}$ como objetos y
• la inclusión de mapas de $U_{ij}\to U_i$ así como de todos los $\varphi_{ij}$ como morfismos.

Esto se siente un poco ad-hoc, tengo que admitir, pero funciona. Si tuviéramos que escribir un carácter más general o abstracto diagrama, que eran más difíciles de traducir que el $U_{ij}$ realmente son subespacios de la $U_i$ y no la mera asignación de espacios a $U_i$, pero aparte de eso, no es demasiado duro. Pero bajo supuestos más débiles, creo $3)$ podría no mantener durante el colimit.

Permítanme recordar (de Lee Mosher del comentario) que el siguiente espacio, con la obvia mapas, es un colimit para el diagrama de arriba: $$X := \coprod\nolimits_i U_i\,/{\sim},\text{ where }\sim\text{ identifies }U_{ij}\text{ with }U_{ji}\text{ via }\varphi_{ij} = \varphi_{ji}^{-1}.$$ Este espacio se ve fácilmente para cumplir con las propiedades de $1), 2), 3)$, así que en realidad, no hay nada más que demostrar, por la singularidad. Sin embargo, debemos mirar lo que está pasando en el caso de que sólo hay dos espacios de $U_1,U_2$ con subespacios $U_{12}\subset U_1$, $U_{21}\subset U_2$, continuo con los mapas de $\varphi_{12}\colon U_{21}\to U_{12}$$\varphi_{21}\colon U_{12}\to U_{21}$, siendo mutuamente inversas. A continuación, el diagrama es sólo $$ \newcommand{\ra}[2]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathop{\rightleftarrows}\limits^{#1}_{#2}\quad\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\int}\right.} % \begin{array}{rcl} U_{12} & \ra{\varphi_{21}}{\varphi_{12}} & U_{21} \\ \da{} & & \da{} \\ U_{1} & & U_2 \\ \end{array} $$ Un colimit de este diagrama se reduce a un espacio de $X$ con mapas de $\psi_i\colon U_i\to X$ de manera tal que el siguiente diagrama conmuta, y la universal de los bienes de que el continuo mapas de $f\colon X\to Y$, a través de pull-back a$U_1$$U_2$, en bijection con pares de $f_i = f\circ\psi_i\colon U_i\to Y$ tal que $(f_1)|_{U_{12}} = f_2\circ\varphi_{21}$ (y, a continuación, automáticamente también se $(f_2)|_{U_{21}} = f_1\circ\varphi_{12}$).

$$ \newcommand{\ra}[2]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathop{\rightleftarrows}\limits^{#1}_{#2}\quad\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\int}\right.} % \begin{array}{rcl} U_{12} & \ra{\varphi_{21}}{\varphi_{12}} & U_{21} \\ \da{} && \da{} \\ U_{1} & & U_2 \\ &\searrow^{\psi_1}\;\;\;\;\swarrow_{\psi_2}&\\ & X & \\ \end{array} $$

Debemos mostrar que esto implica $1)$ $3)$ como en la pregunta. Aquí es donde vemos lo formal y lo que es más especial para $(Top)$. El universal propiedad implica que $\coprod_i U_i\xrightarrow{\psi} X$ es un epimorphism y esto es suficiente para el mapa para ser surjective (en $\mathrm{(Top)}$!); por lo tanto, $X$ $U_1$ $U_2$ $1)$ mantiene. $3)$, sin embargo, es más complicado. Se basa en el hecho de que (en $\mathrm{(Top)}$!) algunos push-out plazas son también de pull-back plazas. Estoy corriendo fuera de tiempo para obtener más detalles ahora mismo, así que vamos a decir que $3)$ tiene cuenta mucho en el hecho de que estamos hablando de $\mathrm{(Top)}$ y en el supuesto de que el $U_{ij}\subset U_i$ ser subespacios. (Creo que sólo voy a dar más detalles a petición.)