Asiento de amigos en una mesa de la cena

Question

Tengo la siguiente pregunta:

En un cuadrado de la tabla I del asiento $8$ amigos míos.

En cada lado, me coloque dos amigos.

Siempre dos amigos conocen el uno al otro.

¿Cuál es la probabilidad de que ningún amigo sabe que es cara, vecino?

Traté de resolverlo:

• El cálculo de todos los asientos diferentes posibilidades: $4!$ $\Rightarrow 24$
• Y anotar todas las opciones en el papel donde no hay vecinos al otro lado del vecino. Para eso, tengo 9 opciones.

Así que supongo que mi resultado final es $$\frac{9}{4!}\Rightarrow 0.375$$

$37.5\%$ que ninguno de los secundarios de los vecinos sabe el otro lado del vecino.

Es esto correcto? ¿Cómo puedo calcular el recuento de todas las posibles opciones de asientos donde ninguna de las partes, vecino sabe uno del otro?

Gracias

Answer 1

Una ligera mejora en user8734617 del método:

Exactamente $\frac{1}{7}$ de los posibles arreglos de un par de $A_1,B_1$ sentados juntos. Para ver esto, dado que cualquier acuerdo con la pareja sentados juntos, fijar la posición de $A_1$ y gire el otro $7$ alrededor de la mesa, dando a $6$ otros arreglos con $A_1,B_1$ no se sientan juntos. Este método produce todos los arreglos posibles alrededor de la mesa, de modo que cada arreglo con $A_1,B_1$ sentado junto corresponde a $6$ otros arreglos, lo que significa $A_1,B_1$ sentarse junto con la probabilidad de $\frac{1}{7}$.

Por el mismo método, de los arreglos con un par de $A_1,B_1$ sentados juntos, $\frac{1}{5}$ tienen otro tipo de par $A_2,B_2$ también sentados juntos, así que fijo de dos pares de sentarse junto con la probabilidad de $\frac{1}{7 \cdot 5}$; del mismo modo, tres fijos pares sentarse junto con la probabilidad de $\frac{1}{7 \cdot 5 \cdot 3}$ y cuatro con probabilidad de $\frac{1}{7\cdot5\cdot3\cdot1}$.

A continuación, aplicamos la inclusión-exclusión: nuestra respuesta es $$\begin{align} &1 - \binom{4}{1}\cdot\frac{1}{7} + \binom{4}{2}\cdot\frac{1}{7 \cdot 5} - \binom{4}{3}\cdot\frac{1}{7 \cdot 5 \cdot 3} + \binom{4}{4}\cdot\frac{1}{7\cdot5\cdot3\cdot1} \\ &= 1 - \frac{4}{7} + \frac{6}{7\cdot5} - \frac{4}{7 \cdot 5 \cdot 3} + \frac{1}{7 \cdot 5 \cdot 3} \\ &= \frac{3}{7} + \frac{6}{7\cdot5} - \frac{3}{7 \cdot 5 \cdot 3} \\ &= \frac{3}{7} + \frac{5}{7\cdot5} \\ &= \frac{4}{7} \end{align}$$

Answer 2

Vamos a etiquetar a los amigos $A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3, B_4$ donde $A_i$ conoce $B_i$.

Mediante la inclusión-exclusión de la fórmula: el número de maneras para ponerlos alrededor de la mesa, de modo que ninguno de $A_i$ se encuentra junto a la correspondiente $B_i$ es:

$$\sum_{k=0}^{4}(-1)^k{4\choose k}^22^kk!(8-2k)!$$

Cada término de la suma es la suma sobre todos los conjuntos de $k$ (de 4) pares de amigos, suponiendo que están juntos (pero no dar por supuesto que hay otros que están juntos). El factor de $-1$ proviene de la inclusión-exclusión de la fórmula en sí, uno de ${4\choose k}$ proviene del hecho de que hay que muchos conjuntos de $k$ pares, el otro ${4\choose k}$ es el número de maneras de poner los $k$ pares alrededor de la mesa, $k!$ es permitir que las permutaciones de los $k$ pares, $2^k$ viene de permuting a cada pareja una vez que ya están sentados, y $(8-2k)!$ viene de poner el resto de la gente ($8-2k$) alrededor de la mesa de forma arbitraria.

No estoy seguro de si hay un acceso directo para calcular el número total, pero la fórmula anterior es lo suficientemente corto como para hacer un cálculo manual:

$$8!-4^22^11!6!+6^22^22!4!-4^22^33!2!+1^22^44!0!=40320-23040+6912-1536+384=23040$$

por lo que la probabilidad de que no haya dos amigos se sientan juntos es $\frac{23040}{8!}=\frac{4}{7}$.

Tengo que decir que, ahora que he conseguido este resultado, y se ve muy simple, tengo la sospecha de que hay una alternativa y mucho más simple de cálculo. Si la hay, y si puedo llegar a ella, voy a actualizar esta respuesta (a menos que alguien se me adelanta).

Answer 3

Sé que ahora se hace y se sacudió, pero aquí es un método directo evitando la TARTA que se puede apelar.

Nosotros no necesita preocuparse acerca de la numeración de $A_1,A_2,...$ o para el caso, el número de asiento.

Simplemente tratarlos como bolas de $4$ colores y seguir la cadena de emparejamientos para obtener los pares en a diferencia de colores.

Tomar cualquier bola, e iniciar el emparejamiento. Si no hay pares son similares, $Pr = \frac67\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{48}{105}$

Alternativamente, dos pares de cada uno de ellos puede ser igual, por ejemplo, $AC\;\; AC\;\; BD\;\; BD,\; Pr = (\frac67\cdot\frac15)(\frac23) =\frac{12}{105}$

Sumando, ans $= \frac{60}{105} = \frac47$

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Se agregó una explicación

Supongamos que tenemos una primera selección de un $A$. De la $7$ otras bolas, tenemos que evitar a los otros $A$, lo $\frac 67$, y podemos decir que nos hemos vinculado con $C$. Si queremos que no pares de ser similares, el otro $C$ no puede ser emparejado con el "libre" $A$, lo $\frac45$ y así sucesivamente.

Por otro lado, como pares, después de haber conseguido $AC$, el otro $C$ tiene que ser emparejado con $A$, lo $\frac67\cdot\frac15$, y ahora tenemos a $B\;\;B\;\;D\;\;D\;$ a la izquierda a la par del mismo modo.