Hacer Russell calcetines formar un Dedekind-finito conjunto infinito?

Question

Una contables colección de pares disjuntos dos elementos, conjuntos de $(A_n)_{n<\omega}$ se llama Russell-secuencia, si $\prod_{n<\omega} A_n$ está vacía. (Es decir, no hay manera de elegir uno de los dos calcetines de $A_n$ simultáneamente). La cardinalidad de a $\bigcup_{n<\omega} A_n$ se llama Russell cardenal. Russell cardenal no existe bajo el axioma de elección, pero su existencia es conocida por ser coherente con ZF.

Se sabe que Russell cardenales son Dedekind-infinito. He tratado de probar esto, pero los intentos que he hecho de quedar atascado. Aquí es un uno de mi intento:

Se supone que hay una relación uno-a-uno la función$f$$\omega$$A$. Para cada $n$, $A_n$ puede ser incluido en la imagen de $f$, o simplemente se cruza, o no tanto. Deje $B\subseteq\omega$ ser un conjunto de todos los $n$ tal que $A_n$ contiene para algunos $f(k)$, $\prod_{n\in B} A_n$ no está vacío.

No sé, sin embargo, la forma de proceder por encima del argumento. El hecho de que $\prod_{n\in B}A_n$ es no vacío no parecen implicar $\prod_{n<\omega} A_n$ es no vacío, así que no puede llegar a la contradicción.

Hay alguna buena idea de cómo resolver el problema que he señalado? o hay alguna otra manera de probar esto? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Usted tiene un poco mal de la definición de allí. He aquí una bonita teorema.

Supongamos que $\{A_n\mid n\in\omega\}$ es una familia finita de conjuntos, cada uno de tamaño $\geq2$. A continuación, $\bigcup A_n$ es Dedekind-finito si y sólo si no hay ninguna infinito $I\subseteq\omega$ que $\prod_{i\in I}A_i\neq\varnothing$.

Ahora Russell calcetines satisfacer la segunda condición del teorema. Es decir, no hay ninguna familia infinita de la que podemos elegir. Y, a continuación, se puede mostrar fácilmente que en realidad es Dedekind-infinito.

Si todo lo que usted necesita es que todo el producto se vacía fácilmente puede contradecir eso. Simplemente la selección de algunos de la familia de los pares sin una función de elección $A_n$ y definen $B_{2n}=A_n$$B_{2n+1}=\{n\}\times\{0,1\}$. Ahora $\prod B_n=\varnothing$, pero usted puede encontrar fácilmente una inyección de $\omega$ a $\bigcup B_n$.