Soluciones en enteros positivos de $a+b\mid ab+1$ $a-b\mid ab-1$

Question

Estoy interesado en una prueba para la siguiente reclamación. Supongamos que para enteros $a>b>1$ las dos condiciones siguientes: $$a+b\mid ab+1,$$ $$a-b\mid ab-1.$$ A continuación,$\frac{a}{b}<\sqrt{3}$. Además, es posible determinar todos los enteros positivos que las soluciones en este caso ?

Answer 1

Para probar el obligado, tenga en cuenta primero que necesariamente $\gcd (a,b) = 1$, y, a continuación, escribir

$$\begin{align}ab+1 &= (b-\gamma)(a+b)\\ \iff \gamma(a+b) &= b(a+b) - ab - 1 = b^2 -1\\ ab - 1 &= (b+\delta)(a-b)\\ \iff \delta(a-b) &= ab - 1 - b(a-b) = b^2-1. \end{align}$$

Por lo tanto, $a+b$ $a-b$ brecha $b^2-1$. Desde $\gcd (a+b,a-b) = \gcd(a+b,2) \in \{1,\,2\}$, tenemos

$$\frac{(a+b)(a-b)}{\gcd(a+b,a-b)} \mid b^2-1 \Rightarrow \frac{a^2-b^2}{2} \leqslant b^2-1 \Rightarrow a^2 \leqslant 3b^2 - 2.$$