Cómo probar que este conjunto de elementos son linealmente independientes?

Question

Primero de todo, deja que me disculpo por mi mala inglés. Tengo el set $\{e^x, e^{2x},e^{3x},e^{4x}\}$ y tengo que demostrar que es linealmente independiente. Sé que no hay un conjunto de escalares que dan el vector cero, excepto para la solución trivial. Gracias y lo siento de nuevo.

Answer 1

Deje $f (x)=\alpha e^x+\beta e^{2x}+\gamma e^{3x}+\delta e^{4x} $. Quiere mostrar que si $f (x)=0$ todos los $x $,$\alpha=\beta=\gamma=\delta=0$.

Si $f=0$, luego, en particular,$0=f (0)=f'(0)=f''(0)=f^{(3)}(0) $. Esto le dará cuatro ecuaciones en sus coeficientes.

Answer 2

Suponga que $ae^x + be^{2x} + ce^{3x} + de^{4x} = 0$. Permítanos diferenciar la ecuación tres veces para obtener:

$$ ae^x + 2be^{2x} + 3ce^{3x} + 4de^{4x} = 0, \\ ae^x + 4be^{2x} + 9ce^{3x} + 16de^{4x} = 0, \\ ae^x + 8be^{2x} + 27ce^{3x} + 64de^{4x} = 0. $$

Conectar $x = 0$ en cada una de las cuatro ecuaciones obtenemos

$$ a + b + c + d = 0, \\ a + 2b + 3c + 4d = 0, \\ a + 4b + 9c + 16d = 0, \\ a + 8b + 27 ° c + 64d = 0. $$

Se puede mostrar que la única solución de este sistema de ecuaciones es $a = b = c = d = 0$?