Mostrar si $f,g:S^n \to S^n$ y $|\text{deg}(f)| \neq |\text{deg}(g)|$ hay algo de $x$ con $f(x), g(x)$ ortogonal.

Question

Más concretamente, quiero demostrar si f y g son mapas de $S^{n} \to S^{n}$ con $|\text{deg}(f)| \neq |\text{deg}(g)|$ muestran que hay algo de $x \in S^{n}$ con $f(x), g(x)$ ortogonal.

Una forma en la que creo que se podría utilizar la hipótesis es el truco estándar de la "contrapositiva" para este tipo de pruebas en las que asumo $h(x) = \langle f(x), g(x)\rangle$ nunca es cero. Entonces es siempre positivo o negativo. Pero, por lo demás, no sé muy bien a dónde ir a partir de ahí.

Answer 1

Una pista:

En lugar de tratar la información como una función $h$ y averiguar lo que significa geométricamente. Digamos que $h >0$ (Para el caso $h<0$ Considera que $-f$ en su lugar). A continuación, $g(x), f(x)$ ambos se encuentran en el mismo hemisferio (tratando $g(x)$ como el "polo norte"). ¿Puedes encontrar una línea canónica en la esfera que una $f(x)$ a $g(x)$ ? Si puede hacerlo, entonces $f$ y $g$ son homotópicos y por lo tanto $\text{deg}( f) = \text{deg}(g)$ De ahí la contradicción.

Answer 2

Supongamos que para cada $x, \langle f(x), g(x)\rangle\neq 0$ . Considere $h:S^n\rightarrow R$ definido por $h(x)=\langle f(x), g(x)\rangle$ . Desde $S^n$ está conectado, tenemos:

1. Por cada $x\in S^n$ , $h(x)>0$

2. Por cada $x\in S^n, h(x)<0$ .

Supongamos que 1.

Definir $H(t,x)={{tf(x)+(1-t)g(x)}\over{\|t(x)+(1-t)g(x)\|}}$ .

$H$ está bien definida: $tf(x)+(1-t)g(x)=0$ implica que $f(x), g(x)$ son colineales. Si $f(x)=g(x)$ entonces $tf(x)+(1-t)g(x)=tf(x)+(1-t)f(x)=f(x)\neq 0$ . Si $f(x)=-g(x)$ entonces $\langle f(x),g(x)\rangle=-1$ . Pero hemos supuesto $1$ .

$H(0,x)=g(x)$ y $H(1,x)=f(x)$ lo que implica que $H$ es una homotopía entre $f$ y $g$ y por lo tanto $f$ y $g$ tienen el mismo grado. Contradicción.

Si $2$ se verifica definir

$H(t,x)={{tf(x)-(1-t)g(x)}\over{\|t(x)-(1-t)g(x)\|}}$ .

$H$ está bien definido, si $tf(x)+(1-t)g(x)=0$ entonces $f(x)$ y $g(x)$ son colineales. Si $f(x)=-g(x), tf(x)-(1-t)g(x)=tf(x)-(1-t)(-f(x))=f(x)\neq 0$ , si $f(x)=g(x), \langle f(x),g(x)\rangle=1$ . Contradicción ya que hemos supuesto 2.

$H(0,x)=-g(x), H(1,x)=f(x)$ deducimos que $|degree(g)|=|degree(f)|$ . Contradicción.