Extensión de la derivada parcial

Question

Deje que el conjunto abierto $\Omega\subset{\mathbb R}^n$, e $k$ ser un entero positivo. $C^k(\Omega)$ indican que el espacio de las funciones de la posesión continua de los derivados hasta el fin de $k$$\Omega$, e $C^k(\overline{\Omega})$ indican que el espacio de todas las $u\in C^k(\Omega)$ tal que $\partial^{\alpha}u$ se extiende de forma continua para el cierre de la $\overline{\Omega}$ $0\leq|\alpha|\leq k$.

Como yo lo entiendo, una extensión significa que existe $\widetilde{\partial^{\alpha}u}$, el cual es definido en $\overline{\Omega}$$\widetilde{\partial^{\alpha}u}|_{\Omega}=\partial^{\alpha}u$. Y "se extiende de forma continua" significa $\widetilde{\partial^{\alpha}u}$ es continua con respecto a la topología relativa en $\overline{\Omega}$.

Aquí están mis preguntas:

• Cómo hacer que la gente suele hacer esa extensión?

• Cuando hace su extensión y cuando no?

• Deje $\Omega$ ser un subconjunto de a ${\mathbb R}$. Es allí cualquier no triviales contraejemplo tal que este tipo de extensión no existen?

Answer 1

Por simplicidad vamos a suponer que $\Omega$ está acotada. Veamos primero el caso de $k=0$. Entonces usted está preguntando cuándo una función continua en a $\Omega$ puede ser ampliado continuamente a $\bar\Omega$. La respuesta (que puede ser de no mucho uso práctico) es que esto es posible si y sólo si $f$ es uniformemente continua. Para hacer la extensión, para cualquier $x\in\partial\Omega$ elegir una secuencia $\{x_n\}\subset\Omega$ tal que $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ y definen $f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)$. El uniforme de la continuidad de la $f$ permite probar:

1. $\{f(x_n)\}$ es una secuencia de Cauchy, y por lo tanto convergente;
2. El valor de $f(x)$ es independiente de la secuencia elegida para definir.

Ejemplos de funciones continuas en un conjunto abierto que no puede ser extendida de forma continua a la frontera son la $1/x$$\sin(1/x)$$(0,1)$. En $\mathbb{R}^n$, $n>1$, se puede tomar como $f$ la solución del problema de Dirichlet en $\Omega$ con valor de límite de una función discontinua en $\partial\Omega$.

Para $k>0$, $f\in C^k(\Omega)$ puede ser extendido a un $C^k(\bar\Omega)$ función si y sólo si sus derivadas parciales de orden $k$ son uniformemente continuas.