¿Cómo probar una fomula es real o no?

Question

La fórmula es:

$$f(u):=\sqrt{1+i}\arctan\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{(-1+i)u}}\right)+\sqrt{1-i}\arctan\left(\frac{(-1)^{3/4}\sqrt{(-1-i)u}}{u}\right)\tag{1}$$

Lo obtuve de la siguiente integral definida: $$f(u):=\int_u^{\infty } \frac{\sqrt{x}}{x^2-2 x+2} \, dx\quad {\text{ where }} u>0\tag{2}$$

Numérica estimación indica que, cuando $u>0$, $f(u)\in \mathbb{R}$ debido a que la parte imaginaria de los resultados son cerca numérico epsilon.

Cómo probar o refutar? Si la conclusión es verdadera, es posible eliminar la unidad imaginaria $i$ de la fomula de $f(u)$$(1)$, y obtener un relativamente simple forma de que no contiene o implica cualquier número imaginario?

actualización

$$f^*(u):=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}} \left(\left(\sqrt{2}-1\right) \left(\ln \left(u-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \sqrt{u}+\sqrt{2}\right)-\ln \left(u+\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \sqrt{u}+\sqrt{2}\right)\right)-2 \arctan\left(-\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \sqrt{u}+\sqrt{2}+1\right)+2 \arctan\left(\sqrt{2 \left(1+\sqrt{2}\right)} \sqrt{u}+\sqrt{2}+1\right)-2 \pi \right)$$

Answer 1

Inspirado por Cómo simplificar $\Re\left[\sqrt2 \tan^{-1} {x\over \sqrt i}\right]$? Me las arreglé para escribir una primitiva de $\frac{\sqrt{x}}{x^2-2 x+2}$ mediante el uso de funciones reales. Vamos $$F(x):=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}\cdot \arctan\left(\frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}\cdot \sqrt{x}}{x-\sqrt{2}}\right)$$ $$G(x):=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}+2}}\cdot \mbox{arctanh}\left(\frac{\sqrt{2\sqrt{2}+2}\cdot\sqrt{x}}{x+\sqrt{2}}\right),$$ a continuación, puede comprobarque $$\frac{d}{dx}\left(-F(x)-G(x)\right)= \frac{\sqrt{x}}{x^2-2 x+2}.$$