La convergencia de una serie implica la convergencia de las plazas

Question

Supongamos $a_n\in\Bbb{R}$ $\sum a_n$ converge. Es necesariamente cierto que $\sum (a_n)^2$ converge?

Creo que la respuesta es sí, pero yo era incapaz de demostrarlo. Sería mucho más fácil si $\sum a_n$ era absolutamente convergente. Me pueden ayudar a demostrar esto?

Answer 1

No es cierto si la serie no es absolutamente convergente. Por ejemplo $$ 1 - 1 + \frac 1{\sqrt 2} - \frac 1{\sqrt 2} + \frac 1{\sqrt 3} - \frac 1{\sqrt 3} +\ldots $$ converge (condicional), pero la serie de los cuadrados no converge.

Answer 2

El contraejemplo es dado por $a_n = (-1)^n\frac1{\sqrt n}$.

Answer 3

Usted puede tomar cualquier positivos de la serie $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$, que monótonamente converge a $0$, pero cuya serie no es convergente (como $b_n = \frac{1}{n}$). Entonces la serie $$ a_n = (-1)^n \sqrt{b_n} $$ es convergente, pero sus plazas se $a_n^2 = b_n$ que diverge por supuesto.