La irracionalidad de las pruebas no contradicción

Question

Por ahora, que básicamente han de venir sobre las pruebas de la irracionalidad de la $\sqrt{2}$ (y así sucesivamente) y la prueba de la irracionalidad de la $e$. Sin embargo, ambas pruebas fueron por la contradicción.

Cuando se piensa acerca de ello, parece que la definición de la irracionalidad en sí exige pruebas por contradicción. Un número irracional es un número que no es un número racional. Parece entonces que si nos fueron a buscar directa de la irracionalidad de las pruebas, esto podría confiar en que algún equivalente de la definición de los números irracionales, que no involucren números racionales a sí mismos.

¿Hay alguna irracionalidad pruebas no usar contradicción?

Answer 1

Diagonal de Cantor argumento muestra que para cualquier contables lista de los números, uno puede la construcción de un número no está en esa lista. Cantor utilizado este argumento para demostrar, por ejemplo, que hay trascendental números, ya que uno puede describir de una manera lista de todos los polinomios con coeficientes enteros y sus raíces y, por tanto, a la lista de todos los números algebraicos.

A veces uno escucha afirmó que el Cantor de la prueba de la existencia trascendental de los números es una "pura existencia" la prueba, que muestra simplemente que trascendental de números que existen, pero no se de que cualquier número es trascendental. Pero ese punto de vista no es correcto, porque el argumento es completamente constructivo: se puede describir explícitamente una enumeración de los números algebraicos y de la diagonal procedimiento produce una definida número real que no es algebraico. (Una vez vi un el artículo, creo que en uno de los MAA volúmenes, con el título algo así como "0.24543... es trascendental", donde se implementado Cantor real del algoritmo.)

La relevancia de esta pregunta es que el Cantor diagonalización también puede ser utilizado para demostrar que algunos los números reales que no son racionales, mediante la producción de los números reales que son diferentes explícitamente de cada número racional. En concreto, se pueden enumerar los números racionales como $q_k$ en ninguno de los habituales modos eficaces, y definir un número real $z$, de modo que el $k$-ésimo dígito de $z$$4$, decir, si $r_k$ no ha $k$-ésimo dígito $4$, y de lo contrario el $k$-ésimo dígito de $z$$5$. Ahora sigue por la construcción de ese $z\neq r_k$ por cada $k$, que es lo que significa para $z$ a ser irracional.

Answer 2

Un número irracional puede ser definida como tener una infinita continuó fracción

La continuación de la fracción de sqrt(2) es [1, 2, 2, 2, ...] así que es irracional.

Answer 3

Muy simple, la prueba sigue por el lema de Gauss, (polinomio)

Si $p$ es primo, entonces claramente, $\sqrt{p}$ es una raíz de $f(x)=x^2-p$. Gauss lema muestra que $f(x)=x^2-p$ no tiene raíces racionales (ya que claramente no tiene entero raíces). Por lo tanto $\sqrt{p}$ es irracional.

También se nota la prueba de Gauss lema no es una prueba por contradicción, por lo que este resultado puede ser probado directamente.

Answer 4

Esta es una pregunta muy interesante, porque parece difícil probar que los números son irracionales, sin también de demostrar que son trascendentales (aproximadamente, no las raíces de un polinomio con coeficientes enteros). No me quiero centrar en los argumentos acerca de si es o no algo es una prueba por contradicción. La mayoría de las pruebas puede ser vestido de esa manera sin que parezca antinatural, y a la inversa. Quiero centrarme en cómo usted va sobre demostrando algo irracional. Por ejemplo gamma de Euler constante, para tomar un ejemplo notorio.

Por supuesto, si usted mira el Cantor lado de las cosas que esperamos "casi todos" los número para ser trascendental, y pocos, de hecho, ser irracional, pero no trascendental. Pero parece ser más fácil para alguien que ha sido a través de la norma de la escuela de posgrado cursos para probar que un número trascendental de irracional. (No estoy llamando a esos cursos, tratando de indicar el típico conocimiento de alguien que ataca los problemas).

Sin embargo, existen algunos enfoques estándar. Una buena introducción es en las Pruebas del Libro 3a ed (asegúrese de obtener la edición, esta entrada ha sido sustancialmente en la ediciones - es decir ISBN10 3540404600, Aigner & Ziegler). El principal enfoque es integral. El Libro clásico de la prueba no es, lamentablemente, no en el libro, pero está disponible en la web como pdf gratis (se puede obtener mediante las búsquedas estándar): el rejigging de Apery de la prueba por Frits Beukers, Toro LMS 11 (1979) p268-72. También hay una interesante informal artículo que él escribió, 25 años después, "Consecuencias de la Apery del trabajo en zeta(3)" (creo que es en Arxiv). Varias personas han intentado generalizar con menos éxito de lo que uno podría esperar hasta el momento.

Luego están los trucos. Como un clásico publicado por primera vez como un ejercicio (!) (bueno, eso es una exageración, un ejercicio con sugerencias), en los de primaria libros de matemáticas por Yaglom^2, ahora disponible en la traducción inglés - lleno de cosas bonitas, a menudo basados en Moscú Olimpiada de problemas [ver ISBN10 0486655377m "el desafío de los Problemas Matemáticos Elementales Soluciones, Vol II", Dover, sección X, p22-24].

Pero, ¿son realmente tan solo trucos? Los trucos suelen ocultar las cosas mas profundas. Vale la pena tratar de averiguar por qué funcionan.

Sin embargo, ciertamente no hay equivalente de Alan Baker trabajo cuando se trata de la irracionalidad. Pero a continuación hay algunos números que alguien realmente cree que va a llegar a ser irracional, pero no trascendental.

Answer 5

Tenga en cuenta la suma de dos reducción de fracciones. Las variables a₁ y a₂ son enteros. Las variables b₁ y b₂ son enteros positivos. $$ \displaystyle \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_1b_2+a_2 b_1}{b_1 b_2} $$ Si la suma es un número entero, entonces $ b_1|b_2 $ y $ b_2|b_1 $, lo $ b_1=b_2 $.

Resumiendo, si la suma de dos reducción de fracciones es un entero, entonces los denominadores son iguales. Contrapositively, si los denominadores no son iguales, entonces la suma de dos reducido fracciones no es un número entero.

Ahora vamos a aplicar esta idea a la raíz enésima de un número entero positivo, m.

$$ \displaystyle m^{1/n}=\frac{a}{b}\\ \displaystyle m=\frac{a^n}{b^n}\\ \displaystyle \frac{a^n}{b^n}+\frac {m}{1}=0 $$

Porque la suma es un número entero, el denominador debe ser igual.

$$ \displaystyle b^n=1\\ \displaystyle b=1 $$

En conclusión, la única solución racional se produce cuando $ m^{1/n} $ es un número entero. Por lo tanto, $ m^{1/n} $ es un número entero o irracional.