Prueba de que una función periódica es acotada y uniformemente continua.

Question

Necesito demostrar que si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua y $\forall x \in \mathbb R, f(x+1)=f(x)$ entonces:

• $f$ está acotado,
• $f$ es uniformemente continua,
• existe $c\in \mathbb{R}$ tal que $f(c)=f(c+\pi)$ .

Answer 1

Dejemos que $$g : \begin{array}{ccc} \mathbb R & \to& \mathbb R\\ c &\mapsto &f(c+\pi) - f(c).\end{array}$$ Es una función continua.

Ahora, dejemos que $c_0$ sea un punto donde $f_{|[0,1]}$ tiene un mínimo. Debido a la periodicidad, $c_0$ es un mínimo para el conjunto de $f$ . Así que $\forall x \in \mathbb R, f(x) \geq f(c_0)$ . En particular $(x = c_0 + \pi)$ , $g(c_0) \geq 0$ .

El mismo argumento con "máximo" en lugar de mínimo da un $c_1$ donde $g(c_1) \leq0$ .

El teorema del valor intermedio da ahora un punto $c$ en el que $g$ desaparece, QED.

Answer 2

$f$ está acotado en el compacto [0,1] y como $f(x)= f(x+1), x \in \mathbb{R}, f$ está acotado. Ahora, observe que $f$ está uniformemente acotado en los compactos $[0,1/2],[1/2,1]$ . Entonces, dado $\epsilon>0$ hay $\delta_1, \delta_2>0$ tal que \begin {equation} |x-y|< \delta_1 \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon x, y \in [0,1] \end {Ecuación} \begin {equation} |x-y|< \delta_1 \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon x, y \in [1/2,3/2] \end {Ecuación} Como $f(x)= f(x+1), x \in \mathbb{R}, f$ toma $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2$ . Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua. Después de hacer el resto.