¿Posible para la función $A \subset f^{-1} \left( f(A) \right) \forall f$?

Question

Mientras que tratando de entender el concepto de función medible he leído en la wiki más acerca de la función inversa y se encontró hecho interesante acerca de ellos.

Para cada función de $f$, subconjunto $A$ de el dominio y el subconjunto $B$ de la codominio tenemos $A \subset f^{−1}(f(A))$$f(f^{−1}(B))\subset B$.

Si $f$ es inyectiva tenemos $A = f^{−1}(f(A))$ y si "f" es surjective tenemos $f(f^{−1}(B)) = B$.

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He hecho un boceto, y tengo algunas preguntas:

1) ¿es necesario tener el mapeo de todos los elementos de Una a otra? (De lo contrario llego $f^{−1}(f(A)) \subset A$, véase el cuadro 2)

2) puede inversa de surjective función tiene 2 elementos en el dominio?

3)$A \subset f^{−1}(f(A))$ no funciona en general como se puede ver! Tal vez hacer algunos restringidos operaciones? Esto solo funciona si tengo 2 elementos: 1 de set y 1 de la asignación de un conjunto para el mismo elemento en el codominio.

Answer 1

1: Sí, lo que no tiene que ser tal que $f:A\to B$ está definido para todos los elementos en $A$ porque de lo contrario se tiene un subconjunto $A^\ast\subset A$, y la función es el lugar definido para este subconjunto, por lo que es realmente es $f:A^\ast\to B$

2: Sí, por ejemplo, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{0\leq}$ $f(x)=x^2$ es surjective, y $f^{-1}(1)=\{-1,1\}$ como tanto nos da el número de $1$

3: es siempre es válido debido a que $f(A)$ ya ha asignado a todos los elementos de a $A$ a otros elementos de B, de modo que cuando usted inversa se obtiene de nuevo, pero creo que podría haber typoed como debería ser $A\subseteq f^{-1}(f(A))$ como puede muy bien ser igual, como si al $f$ es inyectiva.

Answer 2

Deje $f\colon X\to Y$ ser un mapa y asumen $A\subset X$.

Queremos demostrar que $A\subset f^{-1}(f(A))$.

Tenga en cuenta que, para que un elemento $x\in X$$B\subset Y$, la declaración de $x\in f^{-1}(B)$ es equivalente a $f(x)\in B$.

Así que lo que tenemos que verificar es que, para $x\in A$, $f(x)\in f(A)$, lo cual es cierto por definición de $f(A)$. Así que la declaración $$ Un\subconjunto f^{-1}(f(A)) $$ tiene para todos los subconjuntos de a$A$$X$.

Del mismo modo, si $B\subset Y$, queremos mostrar que $f(f^{-1}(B))\subset B$. Por lo tanto, vamos a $y\in f(f^{-1}(B))$; por definición, no es $x\in f^{-1}(B)$ tal que $y=f(x)$. Sin embargo, decir $x\in f^{-1}(B)$ es lo mismo que decir $f(x)\in B$. Por lo tanto,$y=f(x)\in B$. De ahí la declaración de $$ f(f^{-1}(B))\subconjunto B $$ tiene para todos los subconjuntos de a$B$$Y$.

En el segundo diagrama, usted no tiene una función, debido a que carecen de una definición de $f(5)$.

En el cuarto diagrama, $A=\{1,2,3\}$, lo $f(A)=\{f(1),f(2),f(3)\}=\{a,c,d\}$. La próxima $f^{-1}(f(A))=f^{-1}(\{a,c,d\})=\{1,2,3,4\}$, lo que confirma la declaración general.

Para su final de las preguntas.

1) Sí, debe haber una definición de $f$ sobre todos los elementos del dominio

2) no entiendo lo que estás pidiendo

3) La afirmación es válida en general, como he demostrado más arriba.