Es projectiveness un Zariski-locales a la propiedad de los módulos? (Respondió: ¡Sí!)

Question

Sé que para un finitely presentó $A$-módulo de $M$ ($A$ un anillo conmutativo), TFAE:

1) $M$ es proyectiva;
2) $M$ es max-localmente libre, lo que significa que $M_m$ es libre para cada ideal maximal $m$;
3) $M$ es el primer localmente libre, lo que significa que $M_p$ es gratuito para todos los prime ideal $m$;
4) $M$ es Zariski-localmente libre, lo que significa que hay algunos $f_1,\ldots,f_n$ generación de la unidad ideal en $A$ de manera tal que cada una de las $M_{f_i}$ es gratis.

(Referencia: Eisenbud álgebra conmutativa, p. 136 / final del capítulo 4).

Sé que (1) implica (2) sin finito de presentación: ver Kaplansky (1958): Módulos Proyectivos, p. 374. (A él no le suponga $A$ es conmutativa, y utiliza un impresionante lema que cualquier proyectiva módulo es una suma directa de countably generado submódulos.) Finito de presentación se utiliza para probar (3) implica (4), como es a menudo el caso cuando se pasa de los tallos de una gavilla real de los bloques abiertos.

Así que ahora me pregunto, en particular, si usted necesita finito de presentación de la prueba (4) implica (1), y, más en general,

Si $M$ es Zariski-localmente proyectiva (es decir, que hay son algunas de las $f_1,\ldots,f_n$ generación de la unidad ideal en $A$ de manera tal que cada una de las $M_{f_i}$ es proyectiva), es proyectiva?

Si es así, ¿cómo puedo ver esto directamente / conmutativa-algebraicamente?

---

Seguimiento: revisé Bhargav de referencia, Raynaud y Gruson: Critères de perogrullo et de projectivité. Resulta que (en la p. 81) que realmente utilizan la misma técnica de Kaplansky en el papel que he enlazado más arriba, de escribir un módulo como un transfinito de la unión con countably generado sucesivos cocientes, que ellos llaman una "Kaplansky división" cuando estos cocientes son directos sumandos. La conclusión de que projectiveness es Zariski-local se declaró como Ejemplo 3.1.4(3) en la parte inferior de la página 82.

Cosas difíciles!

Answer 1

Un punto que vale la pena destacar: la prueba de fpqc descenso para projectivity en Raynaud-Gruson es aparentemente incorrecta (como he aprendido hoy de Gabber en conexión con algo más), pero el resultado es cierto.

Este es el trato. RG deducir el resultado en 3.1.4(1) de la parte II del documento, utilizando 3.1.3 de la parte II y el hecho de que fielmente plana anillo de mapas satisfacen la propiedad que ellos llaman (C) no. (Brevemente, un anillo mapa satisface la propiedad (C) cuando el plano de los módulos a través de el anillo de la base que satisfacen un cierto "Mittag-Leffler" condición después de la extensión de escalares realmente satisfacer la ML condición antes de la extensión de escalares. El contenido de 3.1.3 en la parte II es que esta condición (C) implica el descenso de projectivity para el plano de los módulos. Así que el problema es probar una clase interesante de mapas satisface la propiedad (C).) Pero RG prueba de (C) para los fielmente plana anillo de mapas en 3.1.4(1) de la parte II descansa en otro resultado (2.5.2 en la parte II) que Gruson ha dicho que es incorrecta (en su papel de "Dimensión homologique...."). Ese es el problema. Gabber dice que no sabe un contraejemplo a esta 2.5.2 parte II resultado. (Supongo que Gruson no le dan a uno cuando él dijo que es falso.) De todos modos, así que para hacer la prueba completa, es necesario verificar que el anillo de extensión de interés (tales como fielmente plana en general, o de Zariski-cubrimiento en el caso de la pregunta), satisface la propiedad de que RG llame al (C). Gabber dice que este es un ejercicio fácil adaptar el método de prueba de 3.1.4 en la parte I del documento (que es el caso de countably presentado módulos).

Yo sólo he leído la parte I del documento, de no ser parte II (la parte que yo ya era bastante agotador, y bastante espectacular/útil por sí mismo), por lo que en particular yo no sé de dónde se produce un error (si Gruson está a la derecha) en la prueba de 2.5.2 parte II. Tal vez alguien que haya leído el argumento puede identificar que un error o brecha se produce, y esperemos que el trabajo fuera Gabber del ejercicio. (Bhargav?) Si es así, por favor hágamelo saber.

Answer 2

Se proyectivos es, de hecho, un local propiedad de la topología de Zariski. De hecho, es incluso locales para la fpqc topología --- este es un famoso teorema de Raynaud y Gruson (ver MR0308104).

Answer 3

Esto no es una respuesta a su pregunta acerca de Zariski-local projectivity, pero es relevante para ser localmente libre y usted podría estar interesado.

Uno puede conseguir lejos con finitely generan en lugar de finitely presentado, si uno tiene un poco más para trabajar. En particular, si $M$ es finitely generado y tv de más de $R$ y ya sea
(i) $S$ es un conjunto multiplicativo que consta de los no divisores de cero tal que $S^{-1}M$ es proyectiva sobre $S^{-1}R$
o
(ii) $M/rad(R)M$ $R/rad(R)$- proyectiva
a continuación, $M$ es proyectiva.

Este primer resultado es debido a la Endo y la segunda no es tan difícil. Más detalles así como más de estos tipos de resultados se puede encontrar en Vasconcelos " de papel "En la Finitely Generado Plana Módulos".

Answer 4

Así, el módulo M es, sin duda plana, porque el plano es una propiedad local (Atiyah-McDonald, la Proposición 3.10, pero también es básicamente fácil; el primer espectáculo que 0 es un local de propiedad, a continuación, mostrar inyectividad de morfismos es una propiedad local, muestran ahora el plano es).

Tenga en cuenta que esto implica que cualquier finitely presentado dicho módulo es proyectiva, ya que una finitely presentado plana módulo es proyectiva.

Sospecho que hay un contraejemplo en general, incluso con un finitely generado plana módulo. Intente Una conmutativa von Neumann regular anillo, como un infinito producto de los campos

$A = k_1 \times k_2 \times ... $

Tomar un finitely módulo generado que no es proyectiva (pero que, necesariamente, es plana, ya que el anillo es de von Neumann regular), que debe existir, pero que estoy teniendo un poco de problemas para escribir en el momento. Apuesto a que esto va a hacer el trabajo. Si nadie más se corrige esto, voy a tratar de hacerlo más tarde.

EDIT: UN par de minutos pensamiento lo dejó claro. Tome la I a la suma directa de todos los ejemplares de k_i, y M a ser el cociente A/I.

El (primer =) máxima ideales de Una son los ideales m_i que consta de los elementos que son 0 en cada una de las coordenadas, excepto la i-ésima. El anillo local es k_i, que es un campo. Así que, en realidad cualquier módulo M es localmente libre, pero este en particular M no es proyectiva (porque entonces la suma directa de los k_i tendría que dividir el producto como un sumando).

RE-EDIT: OK, así que hay más máximos ideales de la m_i. Sin embargo, para cualquier anillo conmutativo R, R es von Neumann regular si y sólo si las localizaciones de la R en su máxima ideales son campos (Lam, Un primer curso en no conmutativa anillos Ex. 4.15). Por lo tanto, cualquier módulo M es max-localmente libre (y el primer localmente libre, porque los números primos =maximals para el vNR de los anillos). Por lo que cualquier no-módulo proyectivo, tales como el de arriba, es un primer localmente libre de módulo que no es proyectiva.

Sin embargo, creo que este módulo es, probablemente, no Zariski-localmente libre. Lo que demuestra que (3) no implica (1), pero no dice nada acerca de (4) lo que implica (1).