Área máxima de un rectángulo inscrito en la función cos(x)

Question

Tengo que encontrar el área máxima de un rectángulo inscrito en la función cos(x) con $0 < x < \pi /2$ (como en la imagen de abajo).

El área, que llamaré "A", se define como

$$ A = 2 x \cos(x)$$

Empecé diferenciando el área en términos de x:

$\frac{dA}{dx} = 2\cos(x) + 2x (-\sin(x))$

$\frac{dA}{dx} = 2\cos(x) -2x\sin(x)$

$\frac{dA}{dx} = 2[\cos(x) -x\sin(x)]$

Ahora busco los puntos críticos

$0 = 2[\cos(x) -x\sin(x)]$

$0 = \cos(x) -x\sin(x)$

$x\sin(x) = \cos(x)$

Aquí sin(x) no es 0 porque el dominio está restringido a $(0; \pi / 2)$ así que asumo que puedo dividir ambos lados por sin(x) (si este razonamiento es incorrecto por favor corrígeme).

$x = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

$x = \cot(x)$

Así que este punto crítico que estoy buscando debería ser un punto fijo de la cotangente en el intervalo $(0; \pi / 2)$ . Hice un gráfico y parece coincidir con mi pensamiento:

• La línea roja es $x = \pi /2$
• La línea cian es $y = x$
• La curva negra es la función de área original $A = 2x \cos(x)$
• La curva naranja es $\frac{dA}{dx}$
• La curva púrpura es $\cot(x)$

Así que parece que el valor de x donde la cotangente interseca la $y = x$ es también donde la función de área alcanza su punto máximo y donde la derivada es 0. Y aquí es donde estoy atascado. ¿Cómo puedo encontrar ese punto fijo de $\cot(x)$ ? O quizás me estoy equivocando y hay una forma más sencilla de resolver este problema sin involucrar la cotangente, si es así me gustaría saberlo .

Answer 1

Ecuaciones como $x= \cos x$ o $x=\cot x$ generalmente no tienen soluciones algebraicas. Por lo tanto, en primer lugar queremos señalar que tal $x$ existe (por ejemplo, por el Teorema del Valor Intermedio) y luego utilizar algunas aproximaciones numéricas (por ejemplo, el Método de Newton en $f(x) = \cot(x) -x$ para encontrar una raíz). Este método numérico da como resultado $x \approx 0.860334$ .

Answer 2

La ecuación $cot(x)=x$ es trascendental. No se puede resolver sin utilizar otras funciones trascendentales.

Para encontrar una respuesta aproximada a la ecuación, recomendaría utilizar iteración de punto fijo .

Answer 3

Su representación bien graficada ya permite leer la solución requerida con precisión. He localizado el punto exacto en su gráfico. No se puede resolver por pura aritmética o ecuación algebraica/trigonométrica, una combinación que es "impura" ( llamada trascendental ) puede resolverse numéricamente mediante el método de iteración Newton-Raphson, entre otros, con un mayor número de dígitos.

Answer 4

Como ya se ha dicho, sólo el método nomérico permitiría encontrar la solución exacta.

Sin embargo, podemos aproximar la función $x-\cot(x)$ utilizando Aproximaciones de Padé . Para permanecer con grados bajos podríamos considerar $$f(x)=x-\cot(x)=\frac{a_0+a_1 x^2}{x(1+\sum_{i=1}^n a_ix^{2i})}$$ que tiene en cuenta el hecho de que $f(-x)=-f(x)$ .

Así que, al final, la solución positiva será simplemente la raíz positiva de $a_0+a_1 x^2=0$ . Para valores pequeños de $n$ las soluciones son $$\left( \begin{array}{cc} n & x^2 & x\\ 0 & \frac{3}{4} &0.866025\\ 1 & \frac{20}{27}& 0.860663\\ 2 & \frac{567}{766}&0.860354 \\ 3 & \frac{3447}{4657}&0.860335 \\ 4 & \frac{256135}{346047}&0.860334 \end{array} \right)$$

Sólo para su curiosidad las funciones de la trama $$f(x)=x-\cot(x)\qquad \text{and}\qquad g(x)=\frac{\frac{27 x^2}{20}-1}{x-\frac{x^3}{60}}$$ para $0\leq x \leq \frac \pi 2$ Verás lo cerca que están.