${10 \choose 4}+{11 \choose 4}+{12 \choose 4}+ \cdots +{20 \choose 4}$ puede simplificarse como cuál de los siguientes?

Question

${10 \choose 4}+{11 \choose 4}+{12 \choose 4}+ \cdots +{20 \choose 4}$ puede ser simplificado como ?

A. ${21 \choose 5}$

B. ${20 \choose 5}-{11 \choose 4}$

C. ${21 \choose 5}-{10 \choose 5}$

D. ${20 \choose 4}$

Por favor, dame una pista. No puedo agrupar los términos. Por fuerza bruta, estoy recibiendo ${21 \choose 5}-{10 \choose 5}$

Answer 1

La misma cosa, combinatoria. Queremos elegir $5$ números enteros positivos desde el primer $21$ . Esto se puede hacer en $\binom {21}{5}$ maneras.

Contamos lo mismo de una manera diferente. Si el mayor número elegido es $21$ el resto puede ser elegido en $\binom {20}{4}$ maneras. Si la más grande es $20$ el resto puede ser elegido en $\binom {19}{4}$ maneras. Si la más grande es $19$ el resto puede ser elegido en $\binom {18}{4}$ maneras. Y así sucesivamente, hasta que si el más grande es $5$ el resto puede ser elegido en $\binom {4}{4}$ maneras. Concluimos que $$\binom {20}{4}+ \binom {19}{4}+ \binom {18}{4}+ \cdots + \binom {10}{4}+ \binom {9}{4}+ \cdots + \binom {4}{4}= \binom {21}{5}. \tag {$ 1 $}$$ El mismo razonamiento muestra que $$\binom {9}{4}+ \binom {8}{4}+ \cdots + \binom {4}{4}= \binom {10}{5}. \tag {$ 2 $}$$

Ahora reste $(2)$ de $(1)$ .

Answer 2

Una variación de La identidad de Vandermonde dice $$\sum_ {j=m}^{n-k} \binom {n-j}{k} \binom {j}{m}= \binom {n+1}{k+m+1} \tag {1}$$ Estableciendo $k=0$ rendimientos $$\sum_ {j=m}^{n} \binom {j}{m}= \binom {n+1}{m+1} \tag {2}$$ $(2)$ debería ser útil con $m=4$ .

Answer 3

¿Cuál es el problema de esta solución? Si $S= \binom {10}{4} + \binom {11}{4} + \cdots + \binom {20}{4}$ tenemos \begin {eqnarray} S&=& \left \{ \binom {4}{4} + \binom {5}{4} \cdots + \binom {20}{4} \right \} - \left \{ \binom {4}{4} + \binom {5}{4} \cdots + \binom {9}{4} \right \} &=& \binom {21}{5} - \binom {10}{5} \end {eqnarray}