$\sin(x) = \sum{a_n \sin(n \log(x))+b_n \cos(n \log(x))}$

Question

Puede $f(x)=\sin(x), x>0$ ser representada por la serie de $\sum{a_n \sin(n \log(x))+b_n \cos(n \log(x))}$ ?

nota: esta es la continuación de otra pregunta que me pidió anteriores aquí

Answer 1

Esto depende de lo que usted entiende por representar. Considere la función $\sin(e^t)$ y su expansión de Fourier en el intervalo de $[0,2\pi]$: $$ \sin(e^t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt), $$ donde $$ a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\sin(e^t)\cos(nt)dt,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\sin(e^t)\sin(nt)dt. $$ Estándar de convergencia teoremas muestran que la serie converge pointwise a $\sin(e^t)$ $(0,2\pi)$ (con la convergencia uniforme sobre compactos de subintervalos.) Fot $t=0$ $t=2\pi$ converge a $(\sin(1)+\sin(e^{2\pi})/2=0.9151\dots$ Además, $$ \lim_{N\to\infty}\int_0^{2\pi}\Bigl|\sin(e^t)-\Bigl(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^N(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\Bigr)\Bigr|^2dt=0. $$

Ahora hacemos el cambio de variable $x=e^t$. Se puede conseguir que la $$ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^N(a_n\cos(n\log x)+b_n\sin(n\log x) $$ converge a $\sin x$ pointwise en $(1,e^{2\pi})$ y $$ \lim_{N\to\infty}\int_1^{e^{2\pi}}\Bigl|\sin x-\Bigl(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^N(a_n\cos(n\log x)+b_n\sin(n\log x)\Bigr)\Bigr|^2\frac{dx}{x}=0. $$

Todo esto constituye el hecho de que las funciones de $\{\sin(n\log x),\cos(n\log x)\}$ son un completo sistema ortogonal en el intervalo de $(1,e^{2\pi})$ con respecto al peso $1/x$.

Answer 2

La serie iba a satisfacer (si la suma es s(x) ): $$ s(e^{2 \pi} ) = s(1) $$ Este no es el caso de la función seno. Por lo tanto, no se puede hacer.

EDIT: solucionado 0 a 1