Donde puedo encontrar este "estándar elíptica argumento"?

Question

Recientemente me encontré con el siguiente problema:

Suponga $x_0 \in \mathbb{R}^N$ $$\begin{equation} \Vert w \Vert_{L^\infty (B(x_0,1))} \leq C \end{equation}$$ para alguna constante real $C>0$ donde $B(x_0,1)$ denota la unidad de la bola alrededor de $x_0$.

Mi profesor que afirmó que "el estándar de la elíptica de la teoría conduce a $$\begin{equation} \vert \nabla w(x_0) \vert \leq K \left( \Vert \Delta w \Vert_{L^\infty (B(x_0,1))} + \Vert w \Vert_{L^\infty (B(x_0,1))} \right). \end{equation}$$

Mi pregunta es

¿Qué tipo de "estándar elíptica" el argumento es este? Donde puedo encontrar este tipo de argumento?

Answer 1

Las estimaciones correspondientes se pueden encontrar en la Sección 3.4 (Gradiente estimados para la ecuación de Poisson) en el libro Elíptica Ecuaciones Diferenciales Parciales de Segundo Orden por Gilbarg y Trudinger. Es conveniente escribir $w=h+u$ donde $h$ es armónico con los mismos valores de límite como $w$. Por el principio del máximo, $h$ está delimitado por $\|w\|_{L^\infty}$, y el gradiente de la estimación de funciones armónicas (que también se encuentra en GT, o ver el Interior de gradiente obligado) da una estimación de $|\nabla h(x_0)|$ en términos de $\sup|h|$.

Para la función de $u$ puede aplicar la desigualdad de $(3.16)$ en GT, que dice: $$\sup_\Omega d_x|\nabla u| \le C(\sup_\Omega |u|+\sup_\Omega d^2_x |\Delta u|)$$ donde $d_x=\operatorname{dist}(x,\partial \Omega)$.