Si una función $f$ número finito de extrema (en $I$, entonces la función es monótona a trozos en $I$? Si es necesario, asumir la $f$ es continua en a $I$. La razón por la que estoy pidiendo esto es que he visto dos versiones de la condición de Dirichlet. Uno con "número finito de extrema" y otro con "piecewise de la monotonía". Naturalmente supuse que una implica la otra, y ya sé que la prueba con el último, me esperaba que implicaría que el anterior.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Yo afirmación de que la conjetura es verdadera.
Suponga que $f$ tiene un número finito de extrema y es continua pero no monótona a trozos. Entonces no hay manera de romper el dominio en un número finito de intervalos en que $f$ es monótono. En particular, si se rompe el dominio en los subintervalos entre consecutivos extrema, hay al menos un intervalo donde el $f$ no es monótono. Llamar a este intervalo de $[a,c]$.
Ahora, por construcción, $f$ no tiene extremos en $(a,c)$, pero no es monotono allí.
Asumir WLOG que $f(a) \le f(c).$ (de lo Contrario, considere la posibilidad de $-f$). Por el valor medio teorema, existe una maximizer, $b_1$ en el intervalo. Cualquier maximizer es un extremo, por lo que debe ser uno de los extremos.
(Advertencia: puedo volver a usar los nombres de $b_1$ $b_2$ más tarde. Debe quedar claro a partir del contexto.)
Si $b_1=a$,$f(a) = f(c)$. Luego de buscar un minimizer, $b_2$, que es de nuevo $a$ o $c$. Si $b_2=a$ $f$ es constante, una contradicción. Si $b_2=c$, $f$ es también constante, una contradicción.
Por lo $b_1=c$. Ahora buscan un minimizer en $[a,c]$, $b_2$, lo que es nuevo o bien $a$ o $c$. Si si es$c$, $f$ es constante, una contradicción. Así es $a$.
Por lo $f$ alcanza los niveles mínimos y máximos a las $a$$c$, respectivamente, y $f(a)<f(c)$.
Ahora, por el incumplimiento de la monotonía, hay$b_1 < b_2$$f(b_1) > f(b_2)$. considerar el maximizer de $f$$[b_1,b_2]$. Se trata de uno de los extremos, por lo que debe ser $b_1.$ Ahora, considere el maximizer en $[a,b_1]$, el cual es $a$ o $b_1$.
Si $a\ne b_1$, entonces el maximizer no puede ser $a$, ya que el $a$ es un mundial minimizer y $f$ no es constante. Así es $b_1$. Por lo tanto $b_1$ es máxima en $[a,b_1]$$[b_1,b_2]$, por lo que es un extremo, el cual es una contradicción.
Por lo tanto, $a=b_1$. Pero esto es imposible, ya $a$ es un mundial minimizer, y $f(b_1)>f(b_2)$.
Así que la suposición de que $f$ no es monótona en $[a,c]$, inevitablemente, conduce a una contradicción, y hemos terminado.
