¿Que teorema integral a utilizar para evaluar esta integral triple?

Question

Tomar la normal que apunta hacia fuera desde la superficie. Utilizar un teorema de la integral $$\iint_S \textbf{F}\cdot d\textbf{S} \space \space where \space \space \textbf{F} (x,y,z)=(x^3,3yz^2,3y^2z+10)$$ and $S$ is the surface $z=-\sqrt{4-x^2-y^2}$

Mi intento
He intentado usar el de Gauss teorema de la divergencia que me da $$\iiint_V 3x^2+3y^2+3z^2 d\textbf{V}$$ and I end up with the integral $$\int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi 3 r ^{4} \sin(\phi) \space \space d\theta \space d\phi \space dr$$ The extra $r^2\sin(\theta)$ es el Jacobiano en coordenadas esféricas. Ahora, cuando me integrar el anterior tengo la respuesta incorrecta. La respuesta correcta es $\frac{-8\pi}{5}$. A donde voy mal?

Answer 1

En el teorema de Gauss, uno necesita una superficie cerrada, así que usted tiene que restar del volumen integral de la $\displaystyle I_V=\iiint_V3(x^2+y^2+z^2)d\mathbf{V}=\frac{192\pi}{5}$ integral $\displaystyle\iint_D \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ donde $D$ es el disco de $x^2+y^2\leq4$ $xy$plano con vector normal $\mathbf{n}=(0,0,1)$. Ahora ya que en este caso $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=10$, la respuesta va a ser $$I_V-10\cdot \mathrm{area}(D)=\frac{192\pi}{5}-10\cdot 4\pi=-\frac{8\pi}{5}.$$