¿Qué lecciones se han matemáticos extraídos de la existencia de la no-estándar de los modelos?

Question

Así que, como alguien cuyo conocimiento de las matemáticas siempre ha venido de estudiar con un ojo hacia filosófico/cuestiones fundamentales y estudiar con otros filósofos (que no son , principalmente, la práctica de los matemáticos) tengo curiosidad por saber qué lecciones matemáticos sorteo de la existencia de la no-estándar de los modelos.

Dentro de los círculos filosóficos parece ser el consenso (o al menos bastante popular punto de vista) de que lo que no estándar de los modelos nos muestran es algo acerca de los límites de la formalización. Por ejemplo, Haim Gaifman en una charla a la AMS de la Sesión Especial de Modelos no estándar De la Aritmética Y la Teoría de conjuntos (enero 15-16, 2003, Baltimore, Maryland) observa lo siguiente:

Si la teoría de conjuntos es acerca de algunos de dominio que incluye innumerables conjuntos, entonces cualquier contables de la estructura que satisface el formalizó la teoría debe contar como un fenómeno modelo. Desde el punto de vista de aquellos que se suscriben a la intención de la interpretación, la existencia de tales no estándar modelos de cuentas como una falla en el sistema formal para capturar la semántica totalmente.

Ahora entre aquellos que se suscriben a este tipo de vista, tienden a asumir que el fracaso de categoricity en un primer orden de teoría de la Aritmética de Peano, para demostrar que es un de segundo orden de la formulación de la Aritmética de Peano, la cual es necesaria. Siempre me he tomado esto como resultado de una visión que es la semántica, en lugar de la sintáctica, con el lado de la teorización matemática que tiene algunos primacía. A menudo esto se combina con una vista de Hilbert que las teorías matemáticas (al menos de los que parecen tener una intención de interpretación) definir implícitamente algún concepto o una estructura que varios isomorfo modelos de satisfacer. En este tipo de vista, es el concepto que es de primordial interés y el deductivo sistemas son un medio para descubrir un poco sobre (pero, en general, por razones de incompletitud, sólo un poco) lo que, a falta de una mejor palabra, puede llamar a la naturaleza de este concepto.

TL;DR ¿Qué lecciones se han matemáticos extraídos de la existencia de la no-estándar de los modelos?

Answer 1

Yo no sé acerca de las lecciones, pero las conclusiones son más o menos de acuerdo. Como se dijo, ello implica que el primer fin de que los sistemas formales no son lo suficientemente fuertes para un modelo único de "estructura" (o modelo). Porque teorema de la incompletitud de Gödel, usted siempre tendrá más modelos que el que se vaya a formalizar. Por otro lado, casi todo el mundo está de acuerdo en que va a segundo de la orden de la lógica (y la fijación de la semántica) no es una solución, porque de segundo orden de los sistemas tienen un montón de sus propios problemas (hay un trade-off), por ejemplo, Quine señaló la falta de un completo sistema a prueba de como un motivo para la reflexión de segundo orden de la lógica como lógica no, propiamente hablando. En la final, ¿qué significa esto depende de que punto de vista filosófico. Si usted es un Platónico, significa que ningún sistema formal será capaz de demostrar todas las verdades de la estructura de su elección (por ejemplo, N). Si usted es un nominalist, significa que, al menos en la práctica, de primer orden formales de los sistemas de describir un número infinito de "estructuras" (o modelos) (se necesitaría un no-recursiva enumerable número infinito de axiomas para la localización de un único modelo).