Formar un Comité de 10 Senadores

Question

El problema en el que estoy trabajando dice: "¿Cuántos comités diferentes de 10 senadores se pueden formar si los dos senadores de un mismo estado, (50 estados en total) se consideran idénticos?".

Esta es la respuesta que obtuve, pero estoy casi seguro de que es incorrecta:

$e_{1-50}=(1+x+x^2)$

$g(x)=(1+x+x^2)^{50}$

$(1+x+x^2)^{50}=\frac{(1-x^3)^{50}}{(1-x)^{50}}$ $=(1-x^3)^{50}*\frac{1}{(1-x)^{50}}$

$(1-x^3)^{50}=(1+(-1)(x^3 ))^{50}$ $=(1-C(50,1) x^3+C(50,2) x^6-C(50,3) x^9+)$

$\frac{1}{(1-x)^{50}} =(1+C(50,1)x+C(51,2) x^2++C(59,10) x^{10}+)$

$g(x)=(1-C(50,1) x^3+C(50,2) x^6-C(50,3) x^9+) *(1+C(50,1)x+C(51,2) x^2++C(59,10) x^{10}+)$

$a_{r}=C(59,10)-C(50,1)*C(56,7)+C(50,2)*C(53,4)-C(50,3)*C(50,1)=51,590,216,930$

Me pregunto dónde me he equivocado. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Podemos contarlo considerando el número de estados $i$ que aportan dos senadores: $$ \sum_{i=0}^{5}\binom{50}{i}\binom{50-i}{10-2i}=51590216930. $$

Answer 2

I piense en Puede que tenga una solución. Tienes al menos $5$ estados y como máximo $10$ con el $2$ senadores de cada estado considerados idénticos. si es $5$ estados no queda ninguno para elegir de lo contrario hay $2,4,6,8,10$ estados seleccionados que han $1$ senador elegido.

${5\choose 0}{50\choose 5}+{6\choose 2}{50\choose 6}+{7\choose 4}{50\choose 7}+{8\choose 6}{50\choose 8}+{9\choose 8}{50\choose 9}+{10\choose 10}{50\choose 10}$

Answer 3

Me pregunto por la interpretación de la pregunta.

Si hubiera 50 pares de fichas de distintos colores, lo entendería,
pero ¿cómo se puede tener un comité con idénticos gente ?

Creo que la respuesta es sencilla $\dbinom{50}{10}$

Observaciones

Dado que se le pidió que utilizara un F.G., su interpretación y la de los demás debe ser correcta, pero no entiendo por qué el autor de la pregunta tuvo que insertar "los dos senadores del mismo Estado (50 Estados en total) se consideran idénticos".