El functor de dualidad en álgebra lineal

Question

Intento comprender intuitivamente la siguiente construcción:

Para cualquier espacio vectorial $M$ sobre un campo $R$ se puede definir el dual algebraico de $M$ como $M^* := \mathsf{Hom}(M, R)$ y dado otro espacio vectorial $N$ se puede definir el dual algebraico de un mapa lineal $A \in \mathsf{Hom}(M,N)$ según $A^*(\omega) = \omega \circ A$ . Esto establece un mapeo lineal desde $N^*$ à $M^*$ y puesto que para los mapas lineales adecuados $A$ y $B$ , $(A \circ B)^* = B^* \circ A^*$ y $(1_A)^* = 1_{A^*}$ la operación "dualidad" $*$ establece un functor endomorfo (contravariante) en la categoría de espacios vectoriales.

Entiendo los fundamentos de esta construcción, pero lo que me gustaría ver son algunos buenos ejemplos concretos que ilustren las abstracciones de manera significativa. Es fácil encontrar ejemplos concretos de mapas lineales y espacios duales en los que uno aplica esto a formas lineales específicas, pero ¿hay algunos ejemplos que arrojen luz sobre la motivación de estas definiciones y relaciones?

Irónicamente, creo que entiendo mejor esto en términos puramente categóricos, ya que el constructo de la dualidad aparece repetidamente en diferentes contextos y cuando pienso en "dualidad" pienso precisamente en este constructo...

Answer 1

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita con base $e_1, ... e_n$ . Entonces podemos escribir cualquier vector $v$ en la forma

$$v = \sum c_i e_i$$

para unos coeficientes $c_i$ . Envío de un vector $v$ al coeficiente $c_i$ por el hecho de ser fijo $i$ define un funcional lineal $e_i^{\ast} : V \to k$ . El conjunto de estas funciones lineales constituye el doble base à $V$ y lo que me confundió durante mucho tiempo es que los funcionales lineales no se transforman de la misma manera que los vectores bajo el cambio de coordenadas; decimos que los vectores se transforman covariante pero los funcionales lineales transforman contravariante. Antes de entender esto, me confundía constantemente con la diferencia entre transformar un vector y transformar sus componentes.

Para un ejemplo de dimensión infinita, considere el espacio vectorial $k[x]$ de polinomios en una variable sobre un campo. Tiene un conjunto distinguido de vectores duales dados por las funciones $[x^n]$ que devuelven el coeficiente de $x^n$ en un polinomio. A modo de sugerencia se pueden escribir estas funciones como $\frac{1}{n!} \frac{d^n}{dx^n}_{x = 0}$ . Resulta que el espacio dual $k[x]^{\ast}$ es precisamente el producto de los espacios que contienen cada uno de estos vectores duales; por ejemplo, el espacio dual contiene vectores que deberían llamarse $$(e^{t \frac{d}{dx} })_{x=0} = \sum_{n \ge 0} \frac{t^n}{n!} \frac{d^n}{dx^n}_{x=0}$$

que dado un polinomio $f(x)$ devuelve el valor numérico de $f(t)$ .

Pensando en $\frac{d^0}{dx^0}_{x=0}$ como un modelo de juguete para la función delta de Dirac, puedes pensar en esta construcción como un modelo de juguete para (Schwartz) distribuciones .

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En geometría diferencial, el dual de un espacio tangente $T_p(M)$ en un punto $p$ en un colector $M$ es el espacio cotangente $T_p^{\ast}(M)$ en $p$ . Al igual que el espacio tangente capta el comportamiento infinitesimal de las funciones suaves $\mathbb{R} \to M$ cerca de $p$ (curvas), el espacio cotangente capta el comportamiento infinitesimal de las funciones suaves $M \to \mathbb{R}$ cerca de $p$ (coordenadas). Así como una buena familia de vectores tangentes da un campo vectorial, una buena familia de vectores cotangentes da un 1 forma . En la mecánica clásica, el haz de cotangentes es el espacio de fase de una partícula clásica que viaja en $M$ ; los vectores cotangentes dan momento .

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Para mí, la dualidad brilla realmente cuando se combina con los productos tensoriales y se empieza a utilizar el lenguaje de los tensores. Entonces puedes describir cualquier tipo de cosa lineal utilizando una combinación de productos tensoriales y duales, al menos para espacios vectoriales de dimensión finita:

• Qué es una función lineal $V \to W$ ? Es un elemento de $V^{\ast} \otimes W$ .
• Qué es una forma bilineal $V \times V \to k$ ? Es un elemento de $V^{\ast} \otimes V^{\ast}$ .
• Qué es una multiplicación $V \times V \to V$ ? Es un elemento de $V^{\ast} \otimes V^{\ast} \otimes V$ .

Cuando tienes un montón de cosas lineales, escribirlas como todos los tensores te ayuda a llevar la cuenta de cómo puedes combinarlas exactamente (usando contracción del tensor ). Por ejemplo, un endomorfismo $V \to V$ es un elemento de $V^{\ast} \otimes V$ pero tengo un distinguido emparejamiento doble $$V^{\ast} \otimes V \to k.$$

¿Qué hace esto con los endomorfismos? ¡Es sólo la traza!

Answer 2

Un ejemplo concreto es con la matriz Si $A \in \mathcal M_{n,p} (\mathbb K)$ podemos ver la transposición de la matriz $^t A \in \mathcal M_{p,n} (\mathbb K)$ como transposición de $A$ considerado como operador.

Podemos ver la matriz $A$ como un operador : $$A:X \mapsto AX$$ donde $X$ es una matriz con $n$ líneas y una columna El doble de $E=\mathcal M_{n,1}(\mathbb K)$ es $E^*=\mathcal M_{1,n}(\mathbb K)$ materializado por : $$^tXY \in \mathbb K$$ para todos $X,Y \in E$ esto significa $^tX \in E^*$ y $Y \in E$