Un subespacio del espacio de Hilbert

Question

¿Cómo puedo probar que un subespacio dimensional finito de espacio de Hilbert está cerrado? ¿Supongo que hay una secuencia en este subespacio que es convergente y quiero mostrar que este límite es en realidad que el mismo subespacial alguna ayuda?

Answer 1

Supongamos que $Y$ es un subspace finito-dimensional de un espacio normado $X$. Todas las normas en espacios finito-dimensionales son equivalentes, así si $e_i$ es a base de $Y$ y $y = \sum y_i e_i$ es la descomposición de $y\in Y$, hay constantes $C_1>0$ $C_2>0$ tal que $$C_1|y|_X \le \max |y_i| \le C_2 |y|_X$ $ dejó un $y^n \in Y$ de la secuencia converge a $x \in X$, los componentes de $y_i^n$ $y^n$ en el % de base $e_i$satisfacer para $n, m \in {\mathbb N}$ % $$$ \max_i |y_i^n - y_i^m|\le C_2 |y^n - y^m|_X$por lo tanto, son una secuencia de Cauchy. Que$y_i = \lim_n y_i^n$y$y = \sum y_i e_i$. Tenemos$$C_1 |y^n - y|_X\le \max_i |y_i^n - yi|\mathop{\longrightarrow}\limits{n\to \infty} 0$$ ahí $x = y\in Y$.