¿Cómo puedo probar que un subespacio dimensional finito de espacio de Hilbert está cerrado? ¿Supongo que hay una secuencia en este subespacio que es convergente y quiero mostrar que este límite es en realidad que el mismo subespacial alguna ayuda?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que $Y$ es un subspace finito-dimensional de un espacio normado $X$. Todas las normas en espacios finito-dimensionales son equivalentes, así si $e_i$ es a base de $Y$ y $y = \sum y_i e_i$ es la descomposición de $y\in Y$, hay constantes $C_1>0$ $C_2>0$ tal que $$ C_1|y|_X \le \max |y_i| \le C_2 |y|_X$ $ dejó un $y^n \in Y$ de la secuencia converge a $x \in X$, los componentes de $y_i^n$ $y^n$ en el % de base $e_i$satisfacer para $n, m \in {\mathbb N}$ % $ $$\max_i |y_i^n - y_i^m|\le C_2 |y^n - y^m|_X$por lo tanto, son una secuencia de Cauchy. Que $y_i = \lim_n y_i^n$ y $y = \sum y_i e_i$. Tenemos $$C_1 |y^n - y|_X\le \max_i |y_i^n - yi|\mathop{\longrightarrow}\limits{n\to \infty} 0$$ ahí $x = y\in Y$.
