Además, se proporciona un ejemplo de un cálculo del valor neto en la página 5.

Question

Estoy atascado en el siguiente problema en la Caña y Simón el análisis funcional.

Dar un ejemplo para mostrar que un pointwise límite de una red de funciones de Borel en $\mathbb{R}$ no puede ser Borel.

Primero de todo, que la neta no puede ser una secuencia en el sentido usual de la palabra, porque a partir de análisis real hemos pointwise secuencia de límite de funciones de Borel es Borel.

Yo trate de encontrar algunos no Borel medible de su función, como la función característica de este. A continuación, trato de imaginar si puede ser escrita como límite de Borel función en algún sentido. Sin embargo no estoy seguro de qué tipo de red que debo buscar, y cómo caracterizar la convergencia de una red.

Answer 1

Deje $A$ ser un subconjunto de a $\mathbb R$ que no es Borel. Voy a producir una red de funciones de Borel en $\mathbb R$ cuyo límite es la función característica de a $A$. El conjunto de índices $I$ para mi net es el conjunto de subconjuntos finitos de $A$, y el orden parcial de $I$ es la relación de inclusión $\subseteq$. Este orden parcial es dirigida debido a la unión de dos subconjuntos finitos de $A$ es un subconjunto finito de $A$. La neta $(f_i)_{i\in I}$ se define dejando $f_i$ ser la función característica del conjunto finito $i$. Cada una de las $f_i$, siendo la función característica de un conjunto de Borel (en realidad, de un conjunto finito), es un Borel función. Afirmo que el pointwise límite de $(f_i)_{i\in I}$ es la función característica de a $A$. De hecho, si $x\in A$ $f_i(x)=1$ todos los $i\geq\{x\}$$I$, y, por otro lado, si $x\notin A$ $f_i(x)=0$ todos los $i\in A$.