Considere la declaración
Si veo una partícula individual de entrar a la cámara en tiempo $0$, es viajar $Ce^{−At}$ metros por segundo después de $t$ segundos. Las constantes $C$ $A$ son los mismos para cada una de las partículas.
Si $t=0$, la velocidad sería de $C\cdot e^{−A*0}=C\cdot e^0=C$. Por lo tanto, $v_i=C$ (Gracias @Semiclásica para señalar esto antes). Por lo que la velocidad de una partícula que entró en la cámara en el momento $0$ después $t$ segundos es
$v_i\cdot e^{−At}$
Deje $t_c$ ser el tiempo necesario para que una partícula atraviese la cámara. Obtenemos
$v_f=v_ie^{-A\cdot t_c}$
$\rightarrow\frac{v_f}{v_i}=e^{-A\cdot t_c}$
$\rightarrow\ln\frac{v_f}{v_i}=-A\cdot t_c$
$\Rightarrow-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A=t_c$
En este punto, permítanme hacer algunas suposiciones (déjame saber si alguno está mal):
- La pregunta es "¿cuántas son las partículas en la cámara en un momento dado?"
- La primera partícula que entra en $t=0$
- Una partícula que se encuentra exactamente a la entrada de la cámara es considerado dentro de la cámara (por lo tanto, en $t=0$ hay $1$ de las partículas en la cámara)
- Una partícula no es considerado dentro de la cámara tan pronto como su velocidad llega a $v_f$
Considere que la velocidad de la partícula de entrada es $r\cdot s^{-1}$. En otras palabras, una partícula entra en todos los $\frac1{r\cdot s^{-1}}=\frac1r\text{ }s$. Por lo tanto, el número de partículas que hayan entrado en la cámara antes o en el momento $t$ es
$\lfloor\frac tr\rfloor+1$
También consideran que, a partir de a $t=t_c=-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A$ (es decir, cuando la primera partícula que sale), las partículas de empezar a salir de la cámara de todos los $\frac1r\text{ }s$. Por lo tanto, el número de partículas que han salido de la cámara antes o en el momento $t\ge-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A$ es
$\lfloor\frac{t-(-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A)}r\rfloor+1$
$=\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor+1$
Por lo tanto, en un momento dado,$t\ge-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A$, el número de partículas que hayan entrado en la cámara y todavía está en la cámara de
$\lfloor\frac tr\rfloor+1-(\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor+1)$
$=\lfloor\frac tr\rfloor+1-\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor-1$
$=\lfloor\frac tr\rfloor-\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor$
Por lo tanto, teniendo en cuenta el caso de que $t\lt-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A$, la fórmula del número de partículas en la cámara en cualquier punto dado es
$n(t)=\begin{cases}\lfloor\frac tr\rfloor+1\text{, if }t\lt-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A\\\lfloor\frac tr\rfloor-\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor\text{, if }t\ge-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A\end{cases}$