Modelado de partículas moviéndose a través de una cámara

Question

Considere el siguiente fenómeno.

Las partículas de cada viaje con velocidad de $v_i$ metros por segundo entrar en la cámara a una tasa de $r$ de las partículas por segundo.

Al entrar en la cámara, cada partícula comienza a reducir su velocidad de $v_i$$v_f$. Cada partícula, a continuación, sale de la cámara.

Si veo una partícula individual de entrar a la cámara en tiempo $0$, es viajar $Ce^{-At}$ metros por segundo después de $t$ segundos. Las constantes $C$ $A$ son los mismos para cada una de las partículas.

Puedo dejar que este proceso se ejecute durante algún tiempo. Hay una expresión $n(v,t)$ que describen el número de partículas en la cámara que viaja a la velocidad de la $v_i \leq v \leq v_f$ tiempo $t > 0$?

Answer 1

Considere la declaración

Si veo una partícula individual de entrar a la cámara en tiempo $0$, es viajar $Ce^{−At}$ metros por segundo después de $t$ segundos. Las constantes $C$ $A$ son los mismos para cada una de las partículas.

Si $t=0$, la velocidad sería de $C\cdot e^{−A*0}=C\cdot e^0=C$. Por lo tanto, $v_i=C$ (Gracias @Semiclásica para señalar esto antes). Por lo que la velocidad de una partícula que entró en la cámara en el momento $0$ después $t$ segundos es

$v_i\cdot e^{−At}$

Deje $t_c$ ser el tiempo necesario para que una partícula atraviese la cámara. Obtenemos

$v_f=v_ie^{-A\cdot t_c}$

$\rightarrow\frac{v_f}{v_i}=e^{-A\cdot t_c}$

$\rightarrow\ln\frac{v_f}{v_i}=-A\cdot t_c$

$\Rightarrow-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A=t_c$

En este punto, permítanme hacer algunas suposiciones (déjame saber si alguno está mal):

1. La pregunta es "¿cuántas son las partículas en la cámara en un momento dado?"
2. La primera partícula que entra en $t=0$
3. Una partícula que se encuentra exactamente a la entrada de la cámara es considerado dentro de la cámara (por lo tanto, en $t=0$ hay $1$ de las partículas en la cámara)
4. Una partícula no es considerado dentro de la cámara tan pronto como su velocidad llega a $v_f$

Considere que la velocidad de la partícula de entrada es $r\cdot s^{-1}$. En otras palabras, una partícula entra en todos los $\frac1{r\cdot s^{-1}}=\frac1r\text{ }s$. Por lo tanto, el número de partículas que hayan entrado en la cámara antes o en el momento $t$ es

$\lfloor\frac tr\rfloor+1$

También consideran que, a partir de a $t=t_c=-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A$ (es decir, cuando la primera partícula que sale), las partículas de empezar a salir de la cámara de todos los $\frac1r\text{ }s$. Por lo tanto, el número de partículas que han salido de la cámara antes o en el momento $t\ge-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A$ es

$\lfloor\frac{t-(-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A)}r\rfloor+1$

$=\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor+1$

Por lo tanto, en un momento dado,$t\ge-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A$, el número de partículas que hayan entrado en la cámara y todavía está en la cámara de

$\lfloor\frac tr\rfloor+1-(\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor+1)$

$=\lfloor\frac tr\rfloor+1-\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor-1$

$=\lfloor\frac tr\rfloor-\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor$

Por lo tanto, teniendo en cuenta el caso de que $t\lt-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A$, la fórmula del número de partículas en la cámara en cualquier punto dado es

$n(t)=\begin{cases}\lfloor\frac tr\rfloor+1\text{, if }t\lt-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A\\\lfloor\frac tr\rfloor-\lfloor\frac{t+\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A}r\rfloor\text{, if }t\ge-\frac{\ln\frac{v_f}{v_i}}A\end{cases}$