Problemas de comprensión de la construcción del espacio de móduli de Hitchin en su artículo "Las ecuaciones de la dualidad del uno mismo sobre una superficie de riemann"

Question

En primer lugar, si este post debe ser dividido en diferentes preguntas, por favor me lo dijeran. Pensé que sería mejor si simplemente se me plantean mis preguntas en un hilo, ya que están directamente relacionados unos con otros.

Actualmente estoy tratando de entender la construcción de la Hitchin espacio de moduli, construido en este documento (pdf). Voy a saltar a la derecha y seleccione los pasajes en el texto donde mis preguntas, utilizando la misma notación como en el texto. A continuación, todos los principales y vector de paquetes será sobre la misma superficie de riemann compacta $M$.

Veamos el comienzo de §2. En este sentido, consideramos un $SO(3)$ principal paquete de $P$ y hacer un caso distinción en función de si el 2º Stiefel-Whitney clase se desvanece o no. Hay algunas cosas que no entiendo:

1. ¿Cómo podemos obtener un $SU(2)$ o $U(2)$ principal paquete que cubre $P$?
2. ¿Qué es $V$, y por qué no una conexión en $P$ inducir una conexión en $V$ (o me estoy perdiendo que $V$ está asociado no sólo a una cubierta de $P$ como en el anterior, pero a $P$ sí)?

Siguiente es una pregunta que es más probable el resultado de mi ignorancia acerca de la naturaleza de la $V$.

Yo estaba bajo la impresión de que el resultado que uno quiere mostrar es que el espacio de moduli de soluciones para la auto-dualidad ecuaciones en $P$ modulo de calibre de equivalencia es un buen colector, por alguna restricción en $M$.

Teorema (5.7) es prueba de esto para las soluciones en un rango de 2 vector de paquetes de grado impar, mientras que el género de $M$ es mayor que 1. Esto es de alguna manera equivalente a mirar a $P$, al menos si tengo que interpretar la introducción correctamente. Pero, ¿cómo son estos puntos de vista equivalente? Hay un bijection entre los módulos de los espacios de soluciones de la auto-dualidad ecuaciones en P, V?

Estoy tratando de construir un bijection a partir de los resultados de la de papel, pero me temo que estoy un poco perdido en el momento. Agradecería respuestas a ninguna de mis preguntas, o las referencias a la literatura que me puede ayudar a progresar.

Muchas gracias!

Answer 1

Hitchin está utilizando algunos de los argumentos tradicionales de la teoría general de la principal fibra de paquetes y conexiones (ver, por ejemplo, Kobayashi-Nomizu; también hay una buena apéndice en Lawson-Michelsohn). Voy a esbozar los argumentos que está utilizando.

Un homomorphism de Mentira grupos $\rho:\hat G\to G$ induce un mapa entre $\hat G$-director de los haces de fibras y $G$-director de los haces de fibras. También, si $P$ es la imagen de $\hat P$ según este mapa, con cualquier $\hat G$-conexión de $\hat A$ $\hat P$ no está asociado canónicamente una $G$-conexión de $A$$P$. Si $d\rho: \hat{\mathfrak{g}}\to \mathfrak g$ (la derivada de $\rho$$e\in \hat G$) es inyectiva, a continuación, el mapa de $\hat A \mapsto A$ es inyectiva.

A la inversa mapa a $\hat P\mapsto P$ se llama "levantamiento" a $G$-paquete de a $\hat G$ y, en general, no siempre existe o único.

Si $\rho:\hat G \to G$ es surjective con kernel $A\subset \hat G$ que es abelian, entonces no es una "secuencia exacta" en relación con las clases de equivalencia de los principales paquetes de los tres grupos sobre la base de algunos colector $M$:

$$H^1(M; A)\to H^1(M;\hat G)\to H^1(M; G)\to H^2(M;A)$$

Así la obstrucción para la elevación de una $G$-paquete de a $\hat G$ se encuentra en $H^2(M;A)$.

Para $SO(3)=SU(2)/\mathbb Z_2$ este es el segundo Stiefel-Whitney clase $w_2(P)\in H^2(M; \mathbb Z_2)$, mientras que para $SO(3)=U(2)/\mathbb C^*$ no hay obstrucción, y el ascensor es único, ya que $H^k(M;\mathbb C^*)=0$ $k>0$ (esto es debido a que la gavilla de $\mathbb C^*$valores de las funciones lisas es un llamado de la multa gavilla; esto se explica en cualquier libro de texto sobre Čech cohomology).

Una vez que el director $SO(3)$-bundle $P$ se eleva a un director de $\hat G=SU(2)$ o $\hat G=U(2)$-bundle $\hat P$, que forman $V$ tomando el vector paquete asociado con el estándar de representación de $\hat G$ en $\mathbb C^2$, $V=\hat P\times \mathbb C^2/\hat G$.

Si $\hat P$ es un ascensor de $P$ $U(2)$y está equipado con algunos $U(2)$-conexión, decir $\hat A$, entonces esta conexión induce un hermitian conexión en $V$, también se denota por Hitchin por $\hat A$; contiene exactamente la misma información que la conexión en $\hat P$, dado que el estándar de representación de $U(2)$ es fiel. $\hat A$ también induce conexiones de $A$$P$$A_0$$\Lambda^2 V$. Si usted piensa de $\hat A$ como antihermitian 2 por 2 matriz de 1-formas en $\hat P$, $A,A_0$ son sólo el tracelss parte y seguimiento de esta matriz.