Ascendente de la cadena de condiciones homogéneas ideales

Question

Aquí es un ejercicio de algunas notas sobre gradual de los anillos. Lo intenté, pero no tengo idea para resolverlo. Por favor me ayude. Gracias.

Deje $R$ ser gradual anillo. Demostrar que $R$ es Noetherian (Artinian) si y sólo si $R$ satisface el ascendente (descendente) en la condición homogénea ideales.

Answer 1

La prueba de que $R$ es Noetherian: Supongamos $R$ la satisfacción del CAC sobre homogéneos ideales. A continuación, $R_0$ es Noetherian. Y $R_+$ es generado por homogéneos, por el cac, se puede encontrar un número finito de elementos homogéneos, $x_1,\ldots,x_n$, de tal manera que $R_+=(x_1,\ldots,x_n)$, pretendemos que $R=R_0[x_1,\ldots,x_n]$. Para cualquier homogénea $f\in R_+$, $f=x_1g_1+\ldots+x_ng_n$, donde $g_i$ son homogéneos y con un grado menos de $f$, por inducción, $g_i\in R_0[x_1,\ldots,x_n]$, en este caso, $f\in R_0[x_1,\ldots,x_n]$. Por lo tanto $R=R_0[x_1,\ldots,x_n]$. Finalmente, por Hilbert teorema de la base, $R$ es Noetherian.

La prueba de que $R$ es Artinian: Primero de todo, $R_0$ es Artinian. Por la condición de dcc, el ideal de la $R_+$ es, de hecho, tiene sólo un número finito de plazo, es decir, $R_+=R_1\oplus R_2\ldots \oplus R_n$. Por lo $R_+$ es un nipotent ideal, $(R_+)^{n+1}=0$. La sub-anillo $R_0$ es Artinian, tiene un número finito de máximos ideales, decir $\mathfrak{m}_1,\ldots,\mathfrak{m}_k$, entonces existe un $l$ tal que $\mathfrak{m}_1^l\cdots\mathfrak{m}_k^l=0$. Está claro que el máximo de los ideales de $R$ son exactamente $(\mathfrak{m}_i,R_+),i=1,\ldots,k$ y los ideales $\mathfrak{m}_i^lR$ pares son comaximal! Así, por el teorema del resto chino, que solo tenemos que mostrar $R/\mathfrak{m}_i^lR$ es Artinian para cada una de las $i$. Nuestro dcc en condiciones homogéneas ideales siguen manteniendo. Por lo tanto podemos suponer $R_0$ es un Artinian anillo local con la única a la máxima $\mathfrak{m}_0$ $R$ satisfys dcc condiciones homogéneas ideales. Ok, vamos considet el anillo de $R/\mathfrak{m}_0R$, debe ser finito $R_0/\mathfrak{m}_0$, de lo contrario, la imagen de $R_+$ es generado por la imagen de homogeneidad de $R_+$ que es de dimensión infinita sobre $R_0/\mathfrak{m}_0$ y de ahí que podamos encontrar una estrictamente descendió cadena infinita de homogéneos ideales de $R$. Este es un ello. Por lo tanto $R/\mathfrak{m}_0R$ es finito $R_0/\mathfrak{m}_0$. Permítanos pick $f_1,\ldots,f_k$ homogéneas de $R$ de manera tal que la imagen de $R_0+\sum R_0f_i$$R/\mathfrak{m}_0R$. A continuación, pretendemos que $R=R_0+\sum R_0f_i$. Denotar $S=R_0+\sum R_0f_i$. A continuación,$R=S+\mathfrak{m}_0R$, lo $R/S=\mathfrak{m}_0R/S$, aviso que $\mathfrak{m}_0$ es nilpotent! De ello se deduce inmediatamente que $R/S=0$. Finalmente, hemos demostrado que la $R$ es finito $R_0$ e lo $R$ es Artinian.