Ecuación funcional : Si $(x-y)f(x+y) -(x+y)f(x-y) =4xy(x^2-y^2)$ para todo x,y encontrar f(x).

Question

Problema :

Si $(x-y)f(x+y) -(x+y)f(x-y) =4xy(x^2-y^2)$ para todo x,y encontrar f(x).

Mi enfoque :

La ecuación dada puede escribirse como $$(x-y)f(x+y) -(x+y)f(x-y) =4xy(x-y)(x+y)$$

$$\Rightarrow \frac{(x-y)f(x+y)}{(x-y)(x+y)} -\frac{(x+y)f(x-y)}{(x-y)(x+y)} =4xy$$

$$\Rightarrow \frac{f(x+y)}{x+y} -\frac{f(x-y)}{x-y} =4xy$$

Ahora sabemos que $$(x+y)^2 -(x-y)^2 = 4xy$$

$\Rightarrow \frac{f(x+y)}{x+y} =(x+y)^2$ ....(i)

& $\frac{f(x-y)}{x-y} = (x-y)^2$ ...(ii)

Ahora poniendo y =0 en (i) y (ii) obtenemos :

$\frac{f(x)}{x} =x^2$ $\Rightarrow f(x) =x^3$

Pero la respuesta es $f(x) =x^3 +kx$ ( donde k es cualquier constante ) por favor aclare esta parte gracias...

Answer 1

$\Rightarrow \frac{f(x+y)}{x+y} -\frac{f(x-y)}{x-y} =4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$

o, $\frac{f(x+y)}{x+y}-(x+y)^2=\frac{f(x-y)}{x-y}-(x-y)^2$

hacer las sustituciones, $x\to \frac{x+y}{2}$ y $y \to \frac{x-y}{2}$

Entonces lo anterior se convierte en $\frac{f(x)}{x}-(x)^2=\frac{f(y)}{y}-(y)^2=k(say)$

Ahí tienes $f(x)=x^3+kx$

Answer 2

El término adicional proviene de la relación $(x-y)k(x+y)-(x+y)k(x-y)=0$ para cualquier $k$