¿Cardinalidad del producto infinito?

Question

¿Es la cardinalidad de un producto infinito fácilmente expresada en términos más simples?

El problema concreto es este. Supongamos que $\alpha$ es un ordinal límite contable. El conjunto que quiero contar tiene un tamaño igual a $\Pi_{\beta<\alpha} \beth_\beta$ .

Me gustaría que la salida fuera $\beth_\alpha$ pero honestamente no estoy seguro de cómo funciona esto. La multiplicación cardinal finita es muy fácil, pero no sé nada de productos infinitos como éste. Ciertamente puedo acotar por encima; $\beth_\beta<\beth_\alpha$ por lo que el producto tiene un tamaño máximo de $\beth_\alpha^\omega$ pero por el teorema de Konig es estrictamente mayor que $\beth_\alpha$ y no me parece bien.

Answer 1

Resulta que este hace tienen una buena respuesta. Originalmente tenía una prueba mucho más complicada, y casi inmediatamente después, Douglas Ulrich me dio una sencilla. La respuesta es que para cualquier ordinal límite $\alpha$ , $\prod_{\beta<\alpha} \beth_\beta=\beth_{\alpha+1}$ . Lo que sigue es una prueba más detallada de lo que quizá sea necesario.

La razón esencial es la $\prod_i 2^{\kappa_i}=2^{\sum_i \kappa_i}$ que es fácilmente verificable. Esto nos da lo siguiente:

$\prod_{\beta<\alpha}\beth_\beta=\prod_{\beta<\alpha}2^{\beth_\beta}$ ; esto se ve al ver que ambas partes se inyectan naturalmente en la otra. De izquierda a derecha es que $\beth_\beta\leq 2^{\beth_\beta}$ mientras que de derecha a izquierda es porque este es un producto de un conjunto más pequeño (ya que $\alpha$ es un ordinal límite).

Entonces $\prod_{\beta<\alpha}2^{\beth_\beta}=2^{\sum_\beta\beth_\beta}$ . Claramente $\sum_\beta\beth_\beta=\beth_\alpha$ , por lo que este último es $2^{\beth_\alpha}=\beth_{\alpha+1}$ , según se desee.